Determine os pontos para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial
tenha solução única.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
dydt = raizy, y(t0)=y0
e pede para determinar para quais (t0,y0) podemos garantir existência e unicidade de solução. O conteúdo usado será o Teorema de Picard–Lindelöf, que exige que f(y)=raizy seja contínua e Lipschitz em y numa vizinhança de y0.
Passo 2
Definimos
f(y)=raizy, D=ymid y>=0
Note que f é contínua em todo D mas sua derivada em y é
f'(y)=12raizy,
que existe e é contínua somente para y>0, pois em y=0 temos singularidade.
Passo 3
Para aplicar Picard–Lindelöf, precisamos de um retângulo
R = (t,y)mid |t-t0|<= a,;|y-y0|<= b
em que f seja contínua e Lipschitz em y. Como f' é contínua em toda vizinhança de y0 sempre que y0>0, nela f satisfaz condição de Lipschitz local. Logo para qualquer y0>0 podemos achar b>0 tal que y>= y0-b>0 em R e garantir unicidade.