Considere o problema de valor inicial
d yd t=raizy, y(3)=0
E o P.V.I. d yd t
=raizy, y(-4)=5 tem solução única? Justifique sua resposta.

Passo 1

Temos a equação diferencial
dydt = raizy
com dois problemas de valor inicial (PVI):
1. y(3)=0.
2. y(-4)=5.
Para estudar unicidade de solução vamos usar o Teorema de Picard– Lindel"of, que garante existência e unicidade local se a função f(y)=raizy for contínua em y0 e Lipschitz em torno de y0.

Passo 2

Verificamos a regularidade de f(y)=raizy:
  • f é contínua para y>=0.
  • A derivada em relação a y é
f'(y) = 12raizy,
que diverge quando yto0^+. Logo, em torno de y0=0 a função não é Lipschitz em y, mas em torno de qualquer y0>0 ela é Lipschitz (pois em qualquer intervalo [varepsilon,Y], varepsilon>0, f' fica limitada).

Passo 3

Analisando o PVI com y(3)=0:
Como y0=0 torna f' não limitada, não podemos aplicar Picard– Lindel"of para garantir unicidade. De fato:
  • A solução trivial y(t)equiv0 satisfaz dydt=raizy e y(3)=0.
  • Outra solução é obtida por separação de variáveis, para y>0: integral dyraizy = integral dt Longrightarrow 2raizy = t + C Impôs-se y(3)=0, então 2raizy(3) = 3 + C = 0 C=-3. Assim raizy = t-32, y(t)=(t-3)^24, t>=3 Essa função também satisfaz o PVI (no intervalo t>=3). Logo, há pelo menos duas soluções distintas, e não há unicidade.

Passo 4

Analisando o PVI com y(-4)=5:
Aqui y0=5>0, então em torno de y0 a função raizy é Lipschitz. Pelo Teorema de Picard– Lindel"of, existe única solução local (e por continuidade estende-se globalmente enquanto y(t) permanecer >=0).

Passo 5

Para encontrar a solução explícita em y(-4)=5, repetimos separação:
2raizy=t+C
Em t=-4 temos raizy(-4)=raiz5, logo
2raiz5 = -4 + C Longrightarrow C = 2raiz5 + 4
Portanto
raizy = t + (2raiz5+4)2, y(t) = l(t + 2raiz5 + 4r)^24

Resposta

O PVI dydt=raizy,,y(-4)=5 tem solução única, pois raizy é Lipschitz em torno de y0=5.

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