Considere o problema de valor inicial
E o P.V.I.
tem solução única? Justifique sua resposta.
Passo 1
Temos a equação diferencial
com dois problemas de valor inicial (PVI):
.
.
.
.
Para estudar unicidade de solução vamos usar o Teorema de Picard– Lindel"of, que garante existência e unicidade local se a função for contínua em
e Lipschitz em torno de
.
Para estudar unicidade de solução vamos usar o Teorema de Picard– Lindel"of, que garante existência e unicidade local se a função
Passo 2
Verificamos a regularidade de
:
-
é contínua para . - A derivada em relação a
é
que diverge quando
. Logo, em torno de
a função não é Lipschitz em
, mas em torno de qualquer
ela é Lipschitz (pois em qualquer intervalo
,
,
fica limitada).
Passo 3
Analisando o PVI com
:
Como torna
não limitada, não podemos aplicar Picard– Lindel"of para garantir unicidade. De fato:
Como
- A solução trivial
satisfaz e . - Outra solução é obtida por separação de variáveis, para
: Impôs-se , então dá . Assim Essa função também satisfaz o PVI (no intervalo ). Logo, há pelo menos duas soluções distintas, e não há unicidade.
Passo 4
Analisando o PVI com
:
Aqui , então em torno de
a função
é Lipschitz. Pelo Teorema de Picard– Lindel"of, existe única solução local (e por continuidade estende-se globalmente enquanto
permanecer
).
Aqui
Passo 5
Para encontrar a solução explícita em
, repetimos separação:
Em
temos
, logo
Portanto
Resposta
O PVI
tem solução única, pois
é Lipschitz em torno de
.