Determine uma função
cujo gráfico passe pelo ponto
e tal que a reta tangente no ponto genérico
tenha coeficiente angular
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar uma função
que passa pelo ponto
. Além disso, a reta tangente a essa função em qualquer ponto
deve ter um coeficiente angular dado por
.
Isso tudo está ligado ao estudo de equações diferenciais, onde a gente relaciona uma função com sua derivada. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial e equações exatas.
Passo 2
Primeiro, vamos traduzir o que foi dado em termos de derivada. O coeficiente angular da reta tangente é a derivada da função, ou seja:
Agora, temos uma equação diferencial que precisamos resolver para encontrar
.
Passo 3
Vamos rearranjar essa equação para facilitar a resolução. Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Isso pode ser reescrito na forma:
Agora, a equação está organizada de um jeito que podemos verificar se é exata.
Passo 4
Uma equação diferencial da forma
é exata se
. Vamos identificar
e
na nossa equação:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 5
Já que a equação é exata, existe uma função
tal que:
Vamos encontrar essa função
integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 6
Agora, diferenciamos
em relação a
e igualamos a
:
Resolvendo para
:
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, substituímos
de volta na expressão de
:
Como
é constante, podemos escrever:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial fornecida: a função passa pelo ponto
. Substituindo
e
na equação:
Resposta
A função
que satisfaz as condições é dada implicitamente por:
Ou, de forma reorganizada: