Determine uma função y=y(x) cujo gráfico passe pelo ponto (1,1) e tal que a reta tangente no ponto genérico (x, y) tenha coeficiente angular x^2+2 yy-2 x.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar uma função y = y(x) que passa pelo ponto (1, 1). Além disso, a reta tangente a essa função em qualquer ponto (x, y) deve ter um coeficiente angular dado por x^2 + 2yy - 2x.
Isso tudo está ligado ao estudo de equações diferenciais, onde a gente relaciona uma função com sua derivada. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial e equações exatas.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir o que foi dado em termos de derivada. O coeficiente angular da reta tangente é a derivada da função, ou seja:
dydx = x^2 + 2yy - 2x
Agora, temos uma equação diferencial que precisamos resolver para encontrar y(x) .

Passo 3

Vamos rearranjar essa equação para facilitar a resolução. Multiplicando ambos os lados por y - 2x , temos:
(y - 2x) dydx = x^2 + 2y
Isso pode ser reescrito na forma:
(y - 2x) dy = (x^2 + 2y) dx
Agora, a equação está organizada de um jeito que podemos verificar se é exata.

Passo 4

Uma equação diferencial da forma M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 é exata se partial Mpartial y = partial Npartial x. Vamos identificar M e N na nossa equação:
M(x, y) = -(x^2 + 2y) e N(x, y) = y - 2x
Calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = -2 e partial Npartial x = -2
Como partial Mpartial y = partial Npartial x, a equação é exata.

Passo 5

Já que a equação é exata, existe uma função F(x, y) tal que:
dF = M dx + N dy = 0
Vamos encontrar essa função F(x, y) integrando M em relação a x :
F(x, y) = integral M , dx = integral -(x^2 + 2y) , dx = -x^33 - 2xy + h(y)
Aqui, h(y) é uma função que depende apenas de y .

Passo 6

Agora, diferenciamos F(x, y) em relação a y e igualamos a N(x, y) :
partial Fpartial y = -2x + h'(y) = y - 2x
Resolvendo para h'(y) :
h'(y) = y
Integrando em relação a y :
h(y) = y^22 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, substituímos h(y) de volta na expressão de F(x, y) :
F(x, y) = -x^33 - 2xy + y^22 + C
Como F(x, y) é constante, podemos escrever:
-x^33 - 2xy + y^22 = C

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial fornecida: a função passa pelo ponto (1, 1). Substituindo x = 1 e y = 1 na equação:
-1^33 - 2 cdot 1 cdot 1 + 1^22 = C -13 - 2 + 12 = C -13 - 42 + 12 = C -13 - 32 = C C = -116

Resposta

A função y(x) que satisfaz as condições é dada implicitamente por:
-x^33 - 2xy + y^22 = -116
Ou, de forma reorganizada:
y^22 - 2xy - x^33 = -116

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