Encontre um intervalo centrado em x=0 para o qual o problema de valor inicial dado tem uma única solução
y^prime prime+(tg x) y=e^x, y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y'' + (tan x),y = e^x, y(0)=1,;y'(0)=0
Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem no formato
y'' + p(x),y = g(x),
para a qual o teorema de existência e unicidade garante solução única se p e g forem contínuas num intervalo que contenha x=0.

Passo 2

Escrevendo em forma padrão, identificamos
p(x)=tan x, g(x)=e^x
A função e^x é inteira, portanto contínua em todo R. A obstrução vem de tan x, que fica descontínua sempre que cos x=0.

Passo 3

Os zeros de cos x mais próximos de 0 ocorrem em
x = pm pi2
Logo, tan x (e, consequentemente, p) é contínua no intervalo aberto
l(-tfracpi2,tfracpi2r)

Passo 4

Pelo teorema de existência e unicidade para EDOs lineares de ordem dois, há uma única solução definida em qualquer intervalo que contenha 0 e onde p e g sejam contínuas. O maior intervalo centrado em 0 para isso é
l(-tfracpi2,tfracpi2r)

Resposta

O intervalo centrado em x=0 em que há solução única é
l(-tfracpi2,tfracpi2r)

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