Considere o problema de valor inicial
Existe uma única solução para o problema de valor inicial acima? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
que é uma equação diferencial ordinária separável. Vamos usar o Teorema de Picard-Lindelöf (existência e unicidade) para verificar se há unicidade e, em seguida, construir soluções explícitas para ver se surgem mais de uma.
Passo 2
Definimos
. Note que:
.
é contínua em qualquer região
perto de
, pois
é contínua em
.
. A condição de unicidade exige que
seja localmente Lipschitz em
, ou equivalentemente que
seja limitada perto de
.
Passo 3
Calculamos
que diverge quando
. Logo
não é Lipschitz em uma vizinhança de
. Isso impede aplicar o teorema de unicidade, de modo que a existência de mais de uma solução não está vedada.
Passo 4
Uma solução imediata é a solução trivial
porque então
e
, e satisfaz
.
Passo 5
Para achar outra, fazemos separação de variáveis quando
:
Impondo
dá
, ou seja
. Logo
Verifica-se que para todo
essa função satisfaz
e
.
Passo 6
Encontramos duas soluções distintas do mesmo problema de valor inicial:
Portanto não há unicidade.
Resposta
Não existe uma única solução; há pelo menos as soluções
e
.