Considere o problema de valor inicial
d yd t=raizy, y(3)=0
Existe uma única solução para o problema de valor inicial acima? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
dydt = raizy, y(3)=0,
que é uma equação diferencial ordinária separável. Vamos usar o Teorema de Picard-Lindelöf (existência e unicidade) para verificar se há unicidade e, em seguida, construir soluções explícitas para ver se surgem mais de uma.

Passo 2

Definimos f(t,y)=raizy. Note que:
1. f é contínua em qualquer região (t,y)mid t perto de 3,;y>=0, pois raizy é contínua em y>=0.
2. A condição de unicidade exige que f seja localmente Lipschitz em y, ou equivalentemente que partial f/partial y seja limitada perto de y=0.

Passo 3

Calculamos
partial fpartial y(t,y) =12raizy,
que diverge quando yto0^+. Logo f não é Lipschitz em uma vizinhança de (t,y)=(3,0). Isso impede aplicar o teorema de unicidade, de modo que a existência de mais de uma solução não está vedada.

Passo 4

Uma solução imediata é a solução trivial
y(t)equiv0,
porque então dydt=0 e raizy=0, e satisfaz y(3)=0.

Passo 5

Para achar outra, fazemos separação de variáveis quando y>0:
dyraizy = dt ;Rightarrow; 2raizy = t + C ;Rightarrow; y(t) = (t + C)^24
Impondo y(3)=0 2raizy(3)=0=3+C, ou seja C=-3. Logo
y(t) = (t-3)^24
Verifica-se que para todo t essa função satisfaz dydt=raizy e y(3)=0.

Passo 6

Encontramos duas soluções distintas do mesmo problema de valor inicial:
y1(t)equiv0 e y2(t)=(t-3)^24
Portanto não há unicidade.

Resposta

Não existe uma única solução; há pelo menos as soluções y(t)equiv0 e y(t)=(t-3)^2/4.

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