Considere o problema de valor inicial
O item anterior não contradiz o Teorema de Existência e Unicidade? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado apresenta o problema de valor inicial
que é uma equação diferencial linear de segunda ordem. O que vamos precisar é do Teorema de Existência e Unicidade para equações lineares na forma padrão
e verificar se suas hipóteses são satisfeitas em
.
Passo 2
Colocamos a equação na forma padrão dividindo por
(quando
):
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Passo 3
O Teorema de Existência e Unicidade exige que
e
sejam contínuas num intervalo que contenha o ponto inicial
. Mas aqui tanto
quanto
têm singularidade em
e não são contínuos nesse ponto. Portanto as hipóteses do teorema não se aplicam.
Passo 4
Apesar de
ser uma solução que satisfaz
, isso não entra em contradição com o teorema, pois ele simplesmente não garante nem existência nem unicidade quando
e
são singulares em
.
Resposta
Não há contradição, pois as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade não se aplicam em
(os coeficientes não são contínuos aí).