Considere o problema de valor inicial
l t^2 y^prime prime-4 t y^prime+(t^2+6) y=0 y(0)=y^prime(0)=0
O item anterior não contradiz o Teorema de Existência e Unicidade? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial
t^2y''-4t,y'+l(t^2+6r)y=0, y(0)=0, y'(0)=0,
que é uma equação diferencial linear de segunda ordem. O que vamos precisar é do Teorema de Existência e Unicidade para equações lineares na forma padrão
y''+p(t),y'+q(t),y=0
e verificar se suas hipóteses são satisfeitas em t=0.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão dividindo por t^2 (quando tneq0):
y''- 4t,y'+l(1+6t^2r)y=0
Logo
p(t)=-4t, q(t)=1+6t^2

Passo 3

O Teorema de Existência e Unicidade exige que p(t) e q(t) sejam contínuas num intervalo que contenha o ponto inicial t0=0. Mas aqui tanto -4/t quanto 6/t^2 têm singularidade em t=0 e não são contínuos nesse ponto. Portanto as hipóteses do teorema não se aplicam.

Passo 4

Apesar de y(t)equiv0 ser uma solução que satisfaz y(0)=y'(0)=0, isso não entra em contradição com o teorema, pois ele simplesmente não garante nem existência nem unicidade quando p e q são singulares em t0.

Resposta

Não há contradição, pois as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade não se aplicam em t=0 (os coeficientes não são contínuos aí).

Exercícios relacionados