Sejam varphi1, varphi2:(a, b) R duas soluções l.i. para
y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=0,
com varphi1(t) neq 0 para todo t in(a, b).
Mostre que dd t(varphi2varphi1)=W(varphi1, varphi2)varphi1^2.

Passo 1

O enunciado considera duas funções varphi1,varphi2:(a,b)toR que são soluções linearmente independentes da equação
y'' + p(t),y' + q(t),y = 0,
com varphi1(t)neq0 para todo tin(a,b). Queremos mostrar que
ddt!l(tfracvarphi2varphi1r) =W(varphi1,varphi2)varphi1^2,
onde W(varphi1,varphi2) é o wronskiano.

Passo 2

Lembrando a definição do wronskiano de duas funções, temos
W(varphi1,varphi2) =varphi1,varphi2'-varphi1',varphi2

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente para derivar varphi2/varphi1. Como varphi1(t)neq0,
ddt!l(tfracvarphi2varphi1r) =varphi2',varphi1-varphi2,varphi1'varphi1^2

Passo 4

Observamos que o numerador é exatamente o wronskiano W(varphi1,varphi2). Logo
ddt!l(tfracvarphi2varphi1r) =W(varphi1,varphi2)varphi1^2,
que era o que se queria demonstrar.

Resposta

ddtl(tfracvarphi2varphi1r) =W(varphi1,varphi2)varphi1^2

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