Nos problemas 4.23 a 4.45 , resolva as equações diferenciais dadas ou os problemas de valor inicial.
4.42(x^2+1) d x+1y d y=0 ; y(-1)=1

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
(x^2+1),dx + 1y,dy = 0
com condição inicial y(-1)=1. Trata-se de uma equação na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy=0. Vamos verificar se ela é exata e, em seguida, resolver pelo método do potencial.

Passo 2

Verificamos a exatidão calculando
partial Mpartial y = partialpartial y(x^2+1)=0, partial Npartial x = partialpartial xl(1yr)=0
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos a função potencial Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x = M(x,y) e partial Psipartial y = N(x,y)
Integrando M em relação a x,
Psi(x,y) = integral (x^2+1),dx + h(y) = x^33 + x + h(y)

Passo 4

Derivando Psi em relação a y e igualando a N,
partial Psipartial y = h'(y) = 1y
Logo, h(y) = ln|y|. Então a solução implícita é
Psi(x,y) = x^33 + x + ln|y| = C

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(-1)=1 para determinar C:
(-1)^33 + (-1) + ln|1| = -13 -1 + 0 = -43
Portanto C = -tfrac43 e a solução implícita fica
x^33 + x + ln|y| = -43

Passo 6

Isolando y, obtemos
ln|y| = -43 - x - x^33,
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y = expl(-tfrac43 - x - tfracx^33r)
Como y(-1)=1>0, mantemos o sinal positivo.

Resposta

y = exp!l(-tfrac43 - x - tfracx^33r)

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