Encontre a solução geral do problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} \left(1+\frac{2}{y}\right) \operatorname{sen} x y^{\prime}+\cos x=0 \\\ y\left(\frac{\pi}{2}\right)=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\Bigl(1+\frac{2}{y}\Bigr)\sin x\,y'(x)+\cos x=0, \quad y\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=1,
que é uma equação diferencial de primeira ordem e separável. Vamos separar variáveis em x e y e integrar.

Passo 2

Isolamos y'(x). Primeiro escrevemos
\Bigl(1+\frac{2}{y}\Bigr)\sin x\,\frac{dy}{dx}=-\cos x
e portanto
\frac{dy}{dx} =-\frac{\cos x}{\bigl(1+\tfrac{2}{y}\bigr)\sin x} =-\frac{y\cos x}{(y+2)\sin x}.

Passo 3

Agora separamos variáveis, levando tudo que envolve y para um lado e tudo que envolve x para o outro:
\frac{y+2}{y}\,dy =-\frac{\cos x}{\sin x}\,dx.

Passo 4

Integramos cada lado:
\int\!\frac{y+2}{y}\,dy =\int\!1\,dy + \int\!\frac{2}{y}\,dy = y + 2\ln|y|
e
\int\!-\frac{\cos x}{\sin x}\,dx =-\int\!\cot x\,dx =-\ln\bigl|\sin x\bigr| + C.
Logo a relação implícita é
y + 2\ln|y| =-\ln\bigl|\sin x\bigr| + C.

Passo 5

Usamos a condição inicial y(\tfrac\pi2)=1. Como \sin(\tfrac\pi2)=1,
1 + 2\ln(1) =-\ln(1)+C \;\Longrightarrow\; 1 + 0 = 0 + C \;\Longrightarrow\; C=1.

Passo 6

Substituindo C=1 obtemos a solução particular em forma implícita:
y + 2\ln|y| =1 - \ln\bigl|\sin x\bigr|.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é dada implicitamente por
y + 2\ln|y| = 1 - \ln\bigl|\sin x\bigr|.

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