usando transformada de Laplace. O que vamos fazer é aplicar \mathcal{L} em ambos os lados, obter uma equação algébrica em Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, resolver para Y(s) e depois inverter a transformada.
Passo 2
Aplicando a transformada de Laplace termo a termo e usando \mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0) e \mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0), com y(0)=y'(0)=0, obtemos
Invertemos a transformada termo a termo, sabendo que \mathcal{L}^{-1}\{1/(s+a)\}=e^{-at}, \mathcal{L}^{-1}\{s/(s^2+1)\}=\cos t e \mathcal{L}^{-1}\{1/(s^2+1)\}=\sin t. Assim
y(t) = -\tfrac12 e^{-t} + \tfrac{2}{5}e^{-2t} + \tfrac{1}{10}\cos t + \tfrac{3}{10}\sin t.
Resposta
y(t) = -\frac12\,e^{-t} \;+\;\frac{2}{5}\,e^{-2t}\;+\;\frac{1}{10}\cos t\;+\;\frac{3}{10}\sin t.