Q2. Considere o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=\cos (t), \\\ y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0 . \end{array}\right.
Resolva essa equação diferencial utilizando a transformada de Laplace.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\begin{cases} y'' + 3y' + 2y = \cos(t),\\\ y(0)=0,\;y'(0)=0 \end{cases}
usando transformada de Laplace. O que vamos fazer é aplicar \mathcal{L} em ambos os lados, obter uma equação algébrica em Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, resolver para Y(s) e depois inverter a transformada.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace termo a termo e usando \mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0) e \mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0), com y(0)=y'(0)=0, obtemos
\mathcal{L}\{y''\} + 3\,\mathcal{L}\{y'\} + 2\,\mathcal{L}\{y\} = \mathcal{L}\{\cos t\}
s^2Y(s) + 3\,s\,Y(s) + 2\,Y(s) = \frac{s}{s^2+1}.

Passo 3

Fatorando Y(s) no lado esquerdo,
Y(s)\,\bigl(s^2+3s+2\bigr) = \frac{s}{s^2+1}.
Como s^2+3s+2=(s+1)(s+2), segue
Y(s) = \frac{s}{(s^2+1)(s+1)(s+2)}.

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais
\frac{s}{(s+1)(s+2)(s^2+1)} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s+2} + \frac{Cs+D}{s^2+1}.
Usando método cover-up para A e B:
A = \left.\frac{s}{(s+2)(s^2+1)}\right|_{s=-1} = -\frac12, \quad B = \left.\frac{s}{(s+1)(s^2+1)}\right|_{s=-2} = \frac{2}{5}.
Para C e D, igualamos coeficientes em
s = A(s+2)(s^2+1) + B(s+1)(s^2+1) + (Cs+D)(s+1)(s+2),
resultando em
C = \frac{1}{10},\qquad D = \frac{3}{10}.
Logo
Y(s) = -\frac12\frac{1}{s+1} + \frac{2}{5}\frac{1}{s+2} + \frac{\tfrac{1}{10}s + \tfrac{3}{10}}{s^2+1}.

Passo 5

Invertemos a transformada termo a termo, sabendo que
\mathcal{L}^{-1}\{1/(s+a)\}=e^{-at},
\mathcal{L}^{-1}\{s/(s^2+1)\}=\cos t e
\mathcal{L}^{-1}\{1/(s^2+1)\}=\sin t. Assim
y(t) = -\tfrac12 e^{-t} + \tfrac{2}{5}e^{-2t} + \tfrac{1}{10}\cos t + \tfrac{3}{10}\sin t.

Resposta

y(t) = -\frac12\,e^{-t} \;+\;\frac{2}{5}\,e^{-2t}\;+\;\frac{1}{10}\cos t\;+\;\frac{3}{10}\sin t.

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