Q3. Dada a função
G(s)=\frac{5}{s^{2}+9}
determine a função g(t) cuja transformada de Laplace é G(s).

Passo 1

O enunciado nos dá a função de variável complexa
G(s)=\frac{5}{s^{2}+9}
e pede a transformada inversa de Laplace, isto é, encontrar g(t) tal que \mathcal{L}\{g(t)\}=G(s). O conteúdo é transformada inversa de Laplace e vamos usar a tabela básica de pares \{\sin(at)\leftrightarrow a/(s^{2}+a^{2})\}.

Passo 2

Observamos que o denominador s^{2}+9 pode ser escrito como s^{2}+(3)^{2}. Na tabela básica,
\mathcal{L}\{\sin(3t)\}=\frac{3}{s^{2}+3^{2}}=\frac{3}{s^{2}+9}.

Passo 3

Para obter \displaystyle \frac{5}{s^{2}+9} em vez de \displaystyle \frac{3}{s^{2}+9}, usamos a linearidade da transformada de Laplace: se
\mathcal{L}\{\sin(3t)\}=\frac{3}{s^{2}+9},
então
\mathcal{L}\Bigl(\frac{5}{3}\sin(3t)\Bigr) =\frac{5}{3}\,\frac{3}{s^{2}+9} =\frac{5}{s^{2}+9}.
Logo, a função cuja transformada é G(s) é \displaystyle \frac{5}{3}\sin(3t).

Resposta

g(t)=\frac{5}{3}\sin(3t)

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