Considere o problema de valor inicial (P. V. I.)
Resolva o P.V. I. para
. Esboce o gráfico de
em função de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve um sistema de equações diferenciais. O enunciado nos dá duas equações que descrevem como as funções $ x_{1}(t) $ e $ x_{2}(t) $ mudam ao longo do tempo, com condições iniciais específicas. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de sistemas de equações diferenciais lineares, encontrar os valores próprios e vetores próprios da matriz do sistema, e então montar a solução geral. No final, vamos esboçar o gráfico de $ x_{1}(t) $ em função de $ t $.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir o valor de $ \alpha $ que é igual a 1 no sistema de equações. Assim, nosso sistema fica:
Passo 3
Agora, vamos escrever o sistema na forma matricial. Isso facilita encontrar os valores próprios e vetores próprios necessários para a solução. A matriz do sistema é:
E o vetor de estados é $ \mathbf{x}(t) =
$. Então, o sistema fica:
Passo 4
Para encontrar os valores próprios ($ \lambda $) da matriz $ A $, precisamos resolver a equação característica:
Onde $ I $ é a matriz identidade. Calculando:
Simplificando:
Passo 5
Resolvendo $ \lambda^2 +1 = 0 $, temos:
Então, os valores próprios são $ \lambda_1 = i $ e $ \lambda_2 = -i $.
Passo 6
Com os valores próprios, podemos encontrar os vetores próprios correspondentes. Vamos começar com $ \lambda_1 = i $:
Substituindo:
Resolvendo, encontramos que o vetor próprio correspondente a $ \lambda_1 = i $ é $ \mathbf{v}_1 =
$.
Passo 7
A solução geral do sistema pode ser escrita como uma combinação linear das soluções associadas aos valores próprios:
Substituindo os valores próprios e vetores próprios:
Passo 8
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os coeficientes $ c_1 $ e $ c_2 $. Sabemos que:
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de $ c_1 $ e $ c_2 $. Após os cálculos, temos:
Passo 9
Finalmente, substituímos os coeficientes na solução geral para obter $ x_{1}(t) $ e $ x_{2}(t) $:
Então, $ x_{1}(t) = \cos(t) $.
Para esboçar o gráfico de $ x_{1}(t) $ em função de $ t $, sabemos que a função cosseno oscila entre -1 e 1 com período $ 2\pi $, passando por $ x_{1}(0) = 1 $.
Resposta
A solução para o sistema com $ \alpha = 1 $ é:
O gráfico de $ x_{1}(t) $ em função de $ t $ é uma onda cossenoidal que oscila entre -1 e 1, com período $ 2\pi $.