Considere o problema de valor inicial (P. V. I.)
ll d x1d t=2 x1-5 x2 & x1(0)=1 d x2d t=alpha x1-2 x2 & x2(0)=0
Resolva o P.V. I. para alpha=1. Esboce o gráfico de x1(t) em função de t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve um sistema de equações diferenciais. O enunciado nos dá duas equações que descrevem como as funções $ x_{1}(t) $ e $ x_{2}(t) $ mudam ao longo do tempo, com condições iniciais específicas. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de sistemas de equações diferenciais lineares, encontrar os valores próprios e vetores próprios da matriz do sistema, e então montar a solução geral. No final, vamos esboçar o gráfico de $ x_{1}(t) $ em função de $ t $.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir o valor de $ \alpha $ que é igual a 1 no sistema de equações. Assim, nosso sistema fica:
alpha

Passo 3

Agora, vamos escrever o sistema na forma matricial. Isso facilita encontrar os valores próprios e vetores próprios necessários para a solução. A matriz do sistema é:
A = 2 & -5 1 & -2
E o vetor de estados é $ \mathbf{x}(t) = x(t) = x1(t) x2(t) $. Então, o sistema fica:
dxdt = Ax

Passo 4

Para encontrar os valores próprios ($ \lambda $) da matriz $ A $, precisamos resolver a equação característica:
lambda
Onde $ I $ é a matriz identidade. Calculando:
A
Simplificando:
det(A - lambda I) = 0

Passo 5

Resolvendo $ \lambda^2 +1 = 0 $, temos:
lambda^2 +1 = 0
Então, os valores próprios são $ \lambda_1 = i $ e $ \lambda_2 = -i $.

Passo 6

Com os valores próprios, podemos encontrar os vetores próprios correspondentes. Vamos começar com $ \lambda_1 = i $:
lambda1 = i
Substituindo:
(A - iI)v = 0
Resolvendo, encontramos que o vetor próprio correspondente a $ \lambda_1 = i $ é $ \mathbf{v}_1 = 2 - i & -5 1 & -2 - i v1 v2 = 0 0 $.

Passo 7

A solução geral do sistema pode ser escrita como uma combinação linear das soluções associadas aos valores próprios:
x(t) = c1 e^lambda1 t v1 + c2 e^lambda2 t v2
Substituindo os valores próprios e vetores próprios:
x(t) = c1 e^it v1 + c2 e^-it v2

Passo 8

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os coeficientes $ c_1 $ e $ c_2 $. Sabemos que:
c1
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de $ c_1 $ e $ c_2 $. Após os cálculos, temos:
c2

Passo 9

Finalmente, substituímos os coeficientes na solução geral para obter $ x_{1}(t) $ e $ x_{2}(t) $:
x1(t)
Então, $ x_{1}(t) = \cos(t) $.
Para esboçar o gráfico de $ x_{1}(t) $ em função de $ t $, sabemos que a função cosseno oscila entre -1 e 1 com período $ 2\pi $, passando por $ x_{1}(0) = 1 $.

Resposta

A solução para o sistema com $ \alpha = 1 $ é:
alpha = 1
O gráfico de $ x_{1}(t) $ em função de $ t $ é uma onda cossenoidal que oscila entre -1 e 1, com período $ 2\pi $.

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