Considere o problema de valor inicial (P. V. I.)
As soluções de a) e b) exibem comportamentos diferentes. Determine os autovalores da matriz dos coeficientes em termos de
e determine o valor de
no qual ocorre a transição de um tipo de comportamento para outro.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um problema de valor inicial com duas equações diferenciais:
O que precisamos fazer é encontrar os autovalores da matriz dos coeficientes em termos de
e descobrir o valor de
que faz a solução mudar de um tipo de comportamento para outro. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes do sistema. Dado o sistema:
A matriz dos coeficientes
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovalores dessa matriz. Os autovalores
são soluções da equação característica:
Onde
é a matriz identidade. Calculando:
A determinante dessa matriz é:
Simplificando:
Portanto, a equação característica é:
Ou seja:
Passo 4
Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação quadrática:
Isolando
:
Então:
Passo 5
Agora, vamos analisar os comportamentos das soluções com base nos autovalores:
- Se
, então são reais e distintas. - Se
, então são reais e iguais. - Se
, então são complexos conjugados.
A transição de comportamento ocorre exatamente quando o discriminante muda de positivo para negativo, ou seja, quando
.
Resposta
Os autovalores da matriz são
. A transição de comportamento ocorre quando
.