Considere o problema de valor inicial (P. V. I.)
ll d x1d t=2 x1-5 x2 & x1(0)=1 d x2d t=alpha x1-2 x2 & x2(0)=0
As soluções de a) e b) exibem comportamentos diferentes. Determine os autovalores da matriz dos coeficientes em termos de alpha e determine o valor de alpha no qual ocorre a transição de um tipo de comportamento para outro.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um problema de valor inicial com duas equações diferenciais:
dx1dt = 2x1 - 5x2 com x1(0) = 1 dx2dt = alpha x1 - 2x2 com x2(0) = 0
O que precisamos fazer é encontrar os autovalores da matriz dos coeficientes em termos de alpha e descobrir o valor de alpha que faz a solução mudar de um tipo de comportamento para outro. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes do sistema. Dado o sistema:
dx1dt = 2x1 - 5x2
dx2dt = alpha x1 - 2x2
A matriz dos coeficientes A é:
A = 2 & -5 alpha & -2

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovalores dessa matriz. Os autovalores lambda são soluções da equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade. Calculando:
A - lambda I = 2 - lambda & -5 alpha & -2 - lambda
A determinante dessa matriz é:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(-2 - lambda) - (-5)(alpha)
Simplificando:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(-2 - lambda) + 5alpha
= -4 -2lambda + 2lambda + lambda^2 + 5alpha
= lambda^2 - 4 + 5alpha
Portanto, a equação característica é:
lambda^2 + (0)lambda + (-4 + 5alpha) = 0
Ou seja:
lambda^2 + (-4 + 5alpha) = 0

Passo 4

Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação quadrática:
lambda^2 + (-4 + 5alpha) = 0
Isolando lambda^2:
lambda^2 = 4 - 5alpha
Então:
lambda = pm raiz4 - 5alpha

Passo 5

Agora, vamos analisar os comportamentos das soluções com base nos autovalores:
  • Se 4 - 5alpha > 0, então lambda são reais e distintas.
  • Se 4 - 5alpha = 0, então lambda são reais e iguais.
  • Se 4 - 5alpha < 0, então lambda são complexos conjugados.
A transição de comportamento ocorre exatamente quando o discriminante muda de positivo para negativo, ou seja, quando 4 - 5alpha = 0.

Resposta

Os autovalores da matriz são lambda = pm raiz4 - 5alpha. A transição de comportamento ocorre quando alpha = 45.

Exercícios relacionados