Resolva a Equação do Calor Unidimensional aplicando TF em x a ut=kappa^2 ux x, considerando u(x, 0)=de<a(x).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação do calor unidimensional
ut = kappa^2 ux x
com condição inicial
u(x,0)=de<a(x)
usando transformada de Fourier em x. Vamos definir
hat u(omega,t)=integral-infty^inftyu(x,t)e^-iomega x,dx
e usar as propriedades
Fux x = -omega^2hat u e Fde<a(x)=1.

Passo 2

Aplicando transformada de Fourier na variável x à equação, obtemos
partialpartial that u(omega,t) =kappa^2,Fux x =-kappa^2omega^2,hat u(omega,t),
que é uma ODE em t.

Passo 3

Essa ODE tem solução
hat u(omega,t) =hat u(omega,0),e^-kappa^2omega^2t
Como hat u(omega,0)=Fde<a(x)=1, fica
hat u(omega,t)=e^-kappa^2omega^2t

Passo 4

Para voltar a u(x,t), invertemos a transformada:
u(x,t) =12piintegral-infty^inftye^iomega x,e^-kappa^2omega^2t,domega
Reconhecemos a integral Gaussiana
integral-infty^inftye^-aomega^2+bomega,domega =raizpia,e^b^24a
com a=kappa^2t e b=i x. Logo
integral-infty^inftye^iomega x-kappa^2omega^2t,domega =raizpikappa^2t;e^-x^24kappa^2t
Portanto
u(x,t) =12pi,raizpikappa^2t; e^-x^24kappa^2t =12kapparaizpi t;e^-x^24kappa^2t

Resposta

u(x,t) =12kapparaizpi t expl(-x^24kappa^2tr)

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