Seja g(x)=sumn=0^infty k^nn ! x^n. Derive esta série para mostrar que g^prime(x)=k g(x) -1<x<1.

Passo 1

O enunciado dá
g(x)=sumn=0^inftyk^nn!,x^n
e pede para mostrar que
g'(x)=k,g(x),
para -1<x<1. O conteúdo que vamos usar é a derivação termo a termo de séries de potências dentro do seu intervalo (ou raio) de convergência e, em seguida, uma reindexação da soma.

Passo 2

Primeiro, vale lembrar que podemos derivar termo a termo uma série de potências em qualquer intervalo estritamente contido no seu raio de convergência. Vamos checar o raio de convergência por critério da razão:
an=k^nn!,x^n Longrightarrow gl|an+1angr| =|k,x|n+1xrightarrow[ntoinfty]0
Como isso tende a zero para todo x, o raio de convergência é infinito e, em particular, em -1<x<1 podemos derivar termo a termo.

Passo 3

Derivando termo a termo (o termo de n=0 é constante e some), obtemos
g'(x) =sumn=1^inftyk^nn!,n,x^n-1 =sumn=1^inftyk^n(n-1)!,x^n-1

Passo 4

Agora fazemos a mudança de índice m=n-1. Quando n=1 temos m=0, e quando ntoinfty temos mtoinfty. Assim
g'(x) =summ=0^inftyk^m+1m!,x^m =ksumm=0^inftyk^mm!,x^m =k,g(x)

Resposta

g'(x)=k,g(x)

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