Encontre a série de MacLaurin de f centrada em 4 se f^(n)(4)=(-1)^n n !3^n(n+4). Encontre o seu intervalo de convergência.

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f em torno de x=4 (às vezes chamada de “Maclaurin centrada em 4”) sabendo que
f^(n)(4)=(-1)^n,n!3^n(n+4)
Para construir a série, vamos usar a fórmula de Taylor em torno de a=4:
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(4)n! ,(x-4)^n

Passo 2

Substituindo a expressão de f^(n)(4) na fórmula, obtemos o termo geral da série:
f^(n)(4)n!,(x-4)^n =(-1)^n,n!3^n(n+4)cdot1n!,(x-4)^n =(-1)^n3^n(n+4),(x-4)^n
Portanto
f(x)=sumn=0^infty(-1)^n3^n(n+4),(x-4)^n

Passo 3

Para achar o raio de convergência usamos o Teste da Razão em ;an=(-1)^n3^n(n+4),(x-4)^n:
limntoinfty|an+1an| =limntoinfty1/3^,n+11/3^,ncdotn+4n+5cdot|x-4| =|x-4|3,limntoinftyn+4n+5 =|x-4|3
Converge se |x-4|3<1, isto é
|x-4|<3

Passo 4

Agora testamos os extremos:
Em x=7, temos x-4=3 e a série vira
sumn=0^infty(-1)^n3^n(n+4),3^n =sumn=0^infty(-1)^nn+4,
que é uma série alternada com termo 1n+4 decrescente a zero, logo converge (condicionalmente).
Em x=1, temos x-4=-3 e a série vira
sumn=0^infty(-1)^n3^n(n+4),(-3)^n =sumn=0^infty1n+4,
que é uma série harmônica deslocada e diverge.

Passo 5

Concluímos que a série
f(x)=sumn=0^infty(-1)^n3^n(n+4),(x-4)^n
converge para |x-4|<3 e converge também em x=7, mas diverge em x=1.

Resposta

A série de Taylor de f em torno de 4 é
f(x)=sumn=0^infty(-1)^n3^n(n+4),(x-4)^n,
e seu intervalo de convergência é
1<x<=7

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