Encontre a série de MacLaurin de
centrada em 4 se
. Encontre o seu intervalo de convergência.
Passo 1
O enunciado pede a série de Taylor de
em torno de
(às vezes chamada de “Maclaurin centrada em 4”) sabendo que
Para construir a série, vamos usar a fórmula de Taylor em torno de
:
Passo 2
Substituindo a expressão de
na fórmula, obtemos o termo geral da série:
Portanto
Passo 3
Para achar o raio de convergência usamos o Teste da Razão em
:
Converge se
|x-4|3<1 , isto é
Passo 4
Agora testamos os extremos:
Em
x=7 , temos
x-4=3 e a série vira
que é uma série alternada com termo
1n+4 decrescente a zero, logo converge (condicionalmente).
Em
x=1 , temos
x-4=-3 e a série vira
que é uma série harmônica deslocada e diverge.
Passo 5
Concluímos que a série
converge para
|x-4|<3 e converge também em
x=7 , mas diverge em
x=1 .
Resposta
A série de Taylor de
f em torno de
4 é
e seu intervalo de convergência é