A função
é uma função bijetora. Seja
a inversa de
. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto de abscissa 0 .
Passo 1
O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de g=f^{-1} em x=0. O conteúdo é derivada de função inversa, onde usamos g
(a)=1/f
(g(a)). Vamos precisar encontrar g(0) e f
(x).
(a)=1/f
(g(a)). Vamos precisar encontrar g(0) e f
(x).
Passo 2
Para achar g(0) basta resolver f(y)=0. Temos f(y)=3y5+y3+y^2+5y+8. Testando y=-1: 3(-1)5+(-1)3+(-1)^2+5(-1)+8= -3-1+1-5+8=0. Logo g(0)=-1.
Passo 3
Agora calculamos f
(x). Derivando f(x)=3x5+x3+x^2+5x+8 obtemos f
(x)=15x4+3x2+2x+5.
(x). Derivando f(x)=3x5+x3+x^2+5x+8 obtemos f
(x)=15x4+3x2+2x+5.
Passo 4
Aplicando a fórmula da derivada da inversa em x=0: g
(0)=1/f
(g(0))=1/f
(-1). Avaliando f
(-1)=15·1+3·1+2·(-1)+5=15+3-2+5=21, logo g
(0)=1/21.
(0)=1/f
(g(0))=1/f
(-1). Avaliando f
(-1)=15·1+3·1+2·(-1)+5=15+3-2+5=21, logo g
(0)=1/21.
Passo 5
Com o ponto (0,g(0))=(0,-1) e coeficiente angular m=1/21, a reta tangente é dada por y-(-1)=(1/21)(x-0). Simplificando: y+1= x/21.
Passo 6
Isolando y obtemos a equação final da reta tangente.