Se f(x)=x^{2}-4 x+7 então f(x+h)-f(x)=
A (2 x-4+h) h
B (2 x+4+h) h
[C] h^{2}-4 h+7
(D) h^{2}+2 x h-4 h-8 x+14

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{2}-4x+7 e pede o valor de f(x+h)-f(x). As informações relevantes são:
  • f(x)=x^{2}-4x+7.
  • Queremos a expressão para f(x+h)-f(x), isto é, substituir x por x+h em f e subtrair f(x).

Passo 2

Calcular f(x+h) substituindo x por x+h:
f(x+h)=(x+h)^{2}-4(x+h)+7.
Agora vamos expandir termo a termo. Primeiro,
(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}.
E
-4(x+h)=-4x-4h.
Somando tudo:
f(x+h)=x^{2}+2xh+h^{2}-4x-4h+7.

Passo 3

Escrever a diferença f(x+h)-f(x) substituindo f(x+h) e f(x):
f(x+h)-f(x)=\bigl(x^{2}+2xh+h^{2}-4x-4h+7\bigr)-\bigl(x^{2}-4x+7\bigr).

Passo 4

Simplificar a expressão fazendo as subtrações e cancelamentos. Ao expandir o parêntese da direita vemos que x^{2}, -4x e +7 aparecem em ambos os membros e se cancelam:
f(x+h)-f(x)=2xh+h^{2}-4h.

Passo 5

Fatorar h em comum para deixar a resposta num formato compacto (útil em provas):
f(x+h)-f(x)=h(2x+h-4).
Reescrevendo a soma interna na ordem do enunciado, isso é igual a h(2x-4+h), que corresponde à alternativa A.

Resposta

(A)

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