Considere o problema de valor inicial no qual se procura a solução da equação
que satisfaça a condição inicial
. Mostre que este problema não possui nenhuma solução real para
. Qual das hipóteses do teorema de Picard é violada? A solução geral seria
mas para
temos a raiz de um número negativo e portanto não existe solução. Note que a função
não é diferencíavel em
isso viola o hipótese.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o problema de valor inicial
não admite nenhuma solução real para
, e perguntar qual hipótese do Teorema de Picard– Lindel"of é violada. Vamos usar separação de variáveis para achar a solução geral e, em seguida, verificar o que acontece quando impomos
. Finalmente, identificamos a hipótese violada.
Passo 2
Separe as variáveis em
e integre dos dois lados:
Isso leva à forma
onde
.
Passo 3
A solução geral é
Para satisfazer a condição inicial
, precisamos de
Logo
Passo 4
Para
o radicando
é negativo, então
não é real. Concluímos que não há nenhuma solução real que satisfaça
para
.
Passo 5
O Teorema de Picard– Lindel"of exige que a função
seja contínua (e Lipschitz em
) num retângulo que contenha o ponto inicial
. Mas
não está nem mesmo definida em
, logo não é contínua nem diferenciável ali. Essa é a hipótese violada.
Resposta
Não existe solução real para
que atenda
. A hipótese violada no Teorema de Picard– Lindel"of é a continuidade (e, por consequência, a condição de Lipschitz) da função
no ponto inicial
.