Considere o problema de valor inicial no qual se procura a solução da equação
doty=-1y
que satisfaça a condição inicial y(0)=0. Mostre que este problema não possui nenhuma solução real para t>0. Qual das hipóteses do teorema de Picard é violada? A solução geral seria
y(t)=raiz2(t0+y0^2 / 2-t)
mas para y0=t0=0 temos a raiz de um número negativo e portanto não existe solução. Note que a função 1 / y não é diferencíavel em y=0 isso viola o hipótese.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o problema de valor inicial
doty=-1y, y(0)=0
não admite nenhuma solução real para t>0, e perguntar qual hipótese do Teorema de Picard– Lindel"of é violada. Vamos usar separação de variáveis para achar a solução geral e, em seguida, verificar o que acontece quando impomos y(0)=0. Finalmente, identificamos a hipótese violada.

Passo 2

Separe as variáveis em
dydt=-1y Longrightarrow y,dy=-dt
e integre dos dois lados:
integral y,dy = integral -dt Longrightarrow 12,y^2 = -t + C
Isso leva à forma
y^2 = -2t + C',
onde C'=2C.

Passo 3

A solução geral é
y(t)=pmraizC' - 2t
Para satisfazer a condição inicial y(0)=0, precisamos de
0 = pmraizC' - 0 Longrightarrow C'=0
Logo
y(t)=pmraiz-2t

Passo 4

Para t>0 o radicando -2t é negativo, então raiz-2t não é real. Concluímos que não há nenhuma solução real que satisfaça y(0)=0 para t>0.

Passo 5

O Teorema de Picard– Lindel"of exige que a função
f(y) = -1y
seja contínua (e Lipschitz em y) num retângulo que contenha o ponto inicial (t0,y0)=(0,0). Mas f(y) não está nem mesmo definida em y=0, logo não é contínua nem diferenciável ali. Essa é a hipótese violada.

Resposta

Não existe solução real para t>0 que atenda y(0)=0. A hipótese violada no Teorema de Picard– Lindel"of é a continuidade (e, por consequência, a condição de Lipschitz) da função f(y)=-1/y no ponto inicial y=0.

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