Considere o problema de valor inicial no qual se procura a solução da equação
que satisfaça a condição
. Mostre que este problema não tem solução única. Qual das hipóteses do teorema de Picard é violada?
De fato, note que
ambas resolvem a EDO. S função
não é diferencíavel em
De fato, note que
Passo 1
O enunciado nos d’a o problema de valor inicial
e pede para mostrar que n~ao h’a unicidade de solu\c{c}~ao e identificar qual hip’otese do teorema de Picard– Lindel"of `e violada. O conte’udo aqui `e exist^encia e unicidade de EDOs e a condi\c{c}~ao de Lipschitz em
.
Passo 2
Verificamos que
é solução. De fato,
e
além de
.
Passo 3
Verificamos que
também é solução. Calculamos
e
além de
.
Passo 4
Como
e ambas satisfazem
,
, concluímos que o problema não tem solução única.
Passo 5
O teorema de Picard– Lindel"of exige que a fun\c{c}~ao
seja Lipschitz em
numa vizinhan\c{c}a de
(ou que
seja cont’inua). Aqui
'e n~ao limitado quando
, logo
n~ao `e Lipschitz em
perto de
.
Resposta
O problema n~ao tem solu\c{c}~ao 'unica porque existem pelo menos duas solu\c{c}~oes distintas (
e
). A hip’otese violada do teorema de Picard– Lindel"of `e a condi\c{c}~ao de Lipschitz em
(ou continuidade de
) na vizinhan\c{c}a de
.