Considere o problema de valor inicial no qual se procura a solução da equação
doty=3 y^2 / 3
que satisfaça a condição y(0)=0. Mostre que este problema não tem solução única. Qual das hipóteses do teorema de Picard é violada?
De fato, note que
y1(t)=0 e y(t)=t^3
ambas resolvem a EDO. S função y^2 / 3 não é diferencíavel em y=0

Passo 1

O enunciado nos d’a o problema de valor inicial
doty=3,y^2/3, y(0)=0
e pede para mostrar que n~ao h’a unicidade de solu\c{c}~ao e identificar qual hip’otese do teorema de Picard– Lindel"of `e violada. O conte’udo aqui `e exist^encia e unicidade de EDOs e a condi\c{c}~ao de Lipschitz em y.

Passo 2

Verificamos que
y1(t)=0
é solução. De fato,
dot y1(t)=0
e
3l(y1(t)r)^2/3=3cdot0^2/3=0,
além de y1(0)=0.

Passo 3

Verificamos que
y2(t)=t^3
também é solução. Calculamos
dot y2(t)=3,t^2
e
3l(y2(t)r)^2/3=3,(t^3)^2/3=3,t^2,
além de y2(0)=0.

Passo 4

Como y1neq y2 e ambas satisfazem dot y=3y^2/3, y(0)=0, concluímos que o problema não tem solução única.

Passo 5

O teorema de Picard– Lindel"of exige que a fun\c{c}~ao
f(y)=3,y^2/3
seja Lipschitz em y numa vizinhan\c{c}a de y=0 (ou que partial f/partial y seja cont’inua). Aqui
f'(y)=2,y^-1/3
'e n~ao limitado quando yto0, logo f n~ao `e Lipschitz em y perto de 0.

Resposta

O problema n~ao tem solu\c{c}~ao 'unica porque existem pelo menos duas solu\c{c}~oes distintas ( yequiv0 e y=t^3). A hip’otese violada do teorema de Picard– Lindel"of `e a condi\c{c}~ao de Lipschitz em y (ou continuidade de partial f/partial y) na vizinhan\c{c}a de y=0.

Exercícios relacionados