Use a fórmula de integraçào por partes para calcular as integrais seguintes: ;
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida
usando a fórmula de integração por partes
Passo 2
Escolhemos
logo
Aplicando a fórmula, obtemos
I = integral xsen x,dx = x,lnl|tantfracx2r| ;-;integral lnl|tantfracx2r|,dx
Passo 3
Denotemos
J = integral lnl|tantfracx2r|,dx
Para calcular J, aplicamos novamente partes, escolhendo
u = lnl|tantfracx2r|, dv = dx,
de modo que
du = csc x,dx, v = x
Assim
J = x,lnl|tantfracx2r| ;-;integral x,csc x,dx = x,lnl|tantfracx2r| - I
Passo 4
Voltando a I, temos
I = x,lnl|tantfracx2r| - J = x,lnl|tantfracx2r| -l(x,lnl|tantfracx2r| - Ir) = I
Isso mostra que a integração por partes retorna à própria integral original, ou seja, não conseguimos expressar integral x/sen x,dx em funções elementares.
Resposta
A integral não admite expressão em funções elementares. Em termos de funções especiais, uma forma de escrevê-la é
integral xsen x,dx = x,lnl|tanx2r| +12l[Li2l(-e^-ixr)-Li2l(-e^ixr)r] + C,