Use a fórmula de integraçào por partes para calcular as integrais seguintes:
integral x d xsen(x);

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral xsen x,dx
usando a fórmula de integração por partes
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos
u = x, dv = csc x,dx,
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du = dx, v = integral csc x,dx = lnl|tanx2r|
Aplicando a fórmula, obtemos
I = integral xsen x,dx = x,lnl|tantfracx2r| ;-;integral lnl|tantfracx2r|,dx

Passo 3

Denotemos
J = integral lnl|tantfracx2r|,dx
Para calcular J, aplicamos novamente partes, escolhendo
u = lnl|tantfracx2r|, dv = dx,
de modo que
du = csc x,dx, v = x
Assim
J = x,lnl|tantfracx2r| ;-;integral x,csc x,dx = x,lnl|tantfracx2r| - I

Passo 4

Voltando a I, temos
I = x,lnl|tantfracx2r| - J = x,lnl|tantfracx2r| -l(x,lnl|tantfracx2r| - Ir) = I
Isso mostra que a integração por partes retorna à própria integral original, ou seja, não conseguimos expressar integral x/sen x,dx em funções elementares.

Resposta

A integral não admite expressão em funções elementares. Em termos de funções especiais, uma forma de escrevê-la é
integral xsen x,dx = x,lnl|tanx2r| +12l[Li2l(-e^-ixr)-Li2l(-e^ixr)r] + C,
onde Li2 é a dilogarítmica.

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