Dado o PVI:
c y^prime=y^2-x y(0)=1
Sabendo que a solução exata do PVI é y(x)=e^x^33-x, compare os resultados encontrados pela solução numérica com os da solução exata (ou analítica) e comente.

Passo 1

O enunciado pede para comparar os resultados obtidos por uma solução numérica do PVI
y' = y^2 - x, y(0) = 1,
com a solução exata
yexata(x) = expl(tfracx^33 - xr)
e, com base nessa comparação, fazer um comentário sobre o comportamento do método numérico.

Passo 2

Para fazer essa comparação, precisamos de três peças de informação:
  1. O método numérico utilizado (por exemplo, Euler explícito, Euler melhorado, Runge–Kutta de ordem 4 etc.).
  2. O tamanho de passo h empregado na discretização de x.
  3. Os valores numéricos aproximados ynum(xi) calculados para pontos xi.
Sem esses dados (método, passo e resultados numéricos), não há como traçar as curvas comparativas nem quantificar o erro.

Passo 3

Se tivéssemos esses dados, o procedimento seria:
  1. Calcular a solução numérica ynum(xi) nos pontos xi = i,h.
  2. Avaliar a solução exata yexata(xi) = exp!l(tfracxi^33-xir).
  3. Calcular o erro local ou erro global em cada ponto: Erro(xi) = l|ynum(xi) - yexata(xi)r|
  4. Plotar ou tabelar ynum(xi) versus yexata(xi) e comentar como o erro se comporta (se cresce, decresce, se mantém estável e se está dentro da tolerância esperada para o método e o passo escolhidos).

Passo 4

Em geral, em problemas como esse, observa-se que:
  • Métodos de baixa ordem (por exemplo, Euler explícito) tendem a acumular maior erro quando x se afasta de zero, especialmente se o passo h não for suficientemente pequeno.
  • Métodos de ordem mais alta (por exemplo, Runge–Kutta de ordem 4) conseguem manter o erro global mais baixo para o mesmo tamanho de passo.
  • O erro global costuma crescer aproximadamente como uma potência de h (por exemplo, O(h) para Euler, O(h^4) para RK4).

Resposta

Não é possível realizar a comparação nem comentar sem que sejam fornecidos o método numérico usado, o tamanho de passo h e os valores obtidos numericamente.

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