Sabendo que a solução exata do PVI é , compare os resultados encontrados pela solução numérica com os da solução exata (ou analítica) e comente.
Passo 1
O enunciado pede para comparar os resultados obtidos por uma solução numérica do PVI
com a solução exata
e, com base nessa comparação, fazer um comentário sobre o comportamento do método numérico.
Passo 2
Para fazer essa comparação, precisamos de três peças de informação:
O método numérico utilizado (por exemplo, Euler explícito, Euler melhorado, Runge–Kutta de ordem 4 etc.).
O tamanho de passo empregado na discretização de .
Os valores numéricos aproximados calculados para pontos .
Sem esses dados (método, passo e resultados numéricos), não há como traçar as curvas comparativas nem quantificar o erro.
Passo 3
Se tivéssemos esses dados, o procedimento seria:
Calcular a solução numérica nos pontos .
Avaliar a solução exata .
Calcular o erro local ou erro global em cada ponto:
Plotar ou tabelar ynum(xi) versus yexata(xi) e comentar como o erro se comporta (se cresce, decresce, se mantém estável e se está dentro da tolerância esperada para o método e o passo escolhidos).
Passo 4
Em geral, em problemas como esse, observa-se que:
Métodos de baixa ordem (por exemplo, Euler explícito) tendem a acumular maior erro quando x se afasta de zero, especialmente se o passo h não for suficientemente pequeno.
Métodos de ordem mais alta (por exemplo, Runge–Kutta de ordem 4) conseguem manter o erro global mais baixo para o mesmo tamanho de passo.
O erro global costuma crescer aproximadamente como uma potência de h (por exemplo, O(h) para Euler, O(h^4) para RK4).
Resposta
Não é possível realizar a comparação nem comentar sem que sejam fornecidos o método numérico usado, o tamanho de passo h e os valores obtidos numericamente.