Considere o problema de valor inicial(PVI)
c 1x^4 y^prime+5 y=1 y(0)=y0
a) (1,5) Determine a solução do PVI.
b) (0,4) Qual o intervalo de validade da solução deste PVI?
c) (0,8) Para quais valores de y0 a solução é crescente e para quais valores de y0 a solução é decrescente?

Passo 1

O enunciado dá o PVI
1x^4y'+5y=1, y(0)=y0,
que é uma equação linear de primeira ordem com coeficiente singular em x=0. Para resolvê-la, vamos reescrever no formato padrão
y'+5x^4y=x^4

Passo 2

Identificamos P(x)=5x^4 e Q(x)=x^4. O fator integrante é
mu(x)=expl(integral P(x),dxr)=expl(integral5x^4,dxr)=expl(x^5r)
Multiplicando a EDO por mu(x) obtemos
ddxl(y,e^x^5r)=x^4e^x^5

Passo 3

Integramos ambos os lados: faça u=x^5, du=5x^4dx, logo
integral x^4e^x^5,dx=15integral e^u,du=15e^u+widetilde C =15e^x^5+widetilde C
Assim
y,e^x^5=15e^x^5+C Longrightarrow y=15+C,e^-x^5

Passo 4

Aplicando a condição y(0)=y0 vem
y0=15+CLongrightarrow C=y0-15
Portanto a solução geral do PVI é
boxed,y(x)=15+l(y0-15r)e^-x^5,

Passo 5

O coeficiente tfrac1x^4 não é contínuo em x=0, então a existência e unicidade valem apenas em intervalos que não contenham 0. Logo o domínio máximo de validade é qualquer intervalo contido em (-infty,0) ou em (0,infty).

Passo 6

Para estudar o crescimento, calcule
y'(x)=ddxl[15+l(y0-tfrac15r)e^-x^5r] =-(y0-tfrac15);5x^4e^-x^5
Como 5x^4e^-x^5>0 para xneq0, o sinal de y' é oposto ao de l(y0-tfrac15r).

Resposta

a) y(x)=15+l(y0-15r)e^-x^5.
b) A solução existe e é única em qualquer intervalo que não contenha x=0, por exemplo (-infty,0) ou (0,infty).
c) Se y0<tfrac15, então y'>0 e y é crescente; se y0>tfrac15, então y'<0 e y é decrescente (para y0=tfrac15, a solução é constante).

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