Considere o problema de valor inicial(PVI)
a)
Determine a solução do PVI.
b)
Qual o intervalo de validade da solução deste PVI?
c)
Para quais valores de
a solução é crescente e para quais valores de
a solução é decrescente?
b)
c)
Passo 1
O enunciado dá o PVI
que é uma equação linear de primeira ordem com coeficiente singular em
. Para resolvê-la, vamos reescrever no formato padrão
Passo 2
Identificamos
e
. O fator integrante é
Multiplicando a EDO por
obtemos
Passo 3
Integramos ambos os lados: faça
,
, logo
Assim
Passo 4
Aplicando a condição
vem
Portanto a solução geral do PVI é
Passo 5
O coeficiente
não é contínuo em
, então a existência e unicidade valem apenas em intervalos que não contenham
. Logo o domínio máximo de validade é qualquer intervalo contido em
ou em
.
Passo 6
Para estudar o crescimento, calcule
Como
para
, o sinal de
é oposto ao de
.
Resposta
a)
.
b) A solução existe e é única em qualquer intervalo que não contenha
, por exemplo
ou
.
c) Se
, então
e
é crescente; se
, então
e
é decrescente (para
, a solução é constante).