Questão extra:
0^0
Considere a equação d yd x+p(x) y=q(t). Mostre que se y1(x) e y2(x) são soluções desta equação, então y(x)=c1 y1(x)+c2 y2(x), com c1 e c2 constantes quaisquer, também é solução da equação.

Passo 1

O enunciado fala de uma equação diferencial linear de 1ª ordem
dydx + p(x),y = q(x)
e pede para mostrar a propriedade de superposição de soluções. Na verdade essa propriedade vale se a equação for homogênea, ou seja, se q(x)=0:
dydx + p(x),y = 0
Vamos então assumir essa forma homogênea e usar o fato de que a derivada e a multiplicação por função são operações lineares.

Passo 2

Definimos
y(x) = c1,y1(x) + c2,y2(x),
onde y1 e y2 satisfazem
dy1dx + p(x),y1 = 0, dy2dx + p(x),y2 = 0
Como a derivada é linear, temos
dydx = ddxl(c1y1+c2y2r) = c1,dy1dx + c2,dy2dx

Passo 3

Substituindo y e dy/dx na equação homogênea, obtemos
dydx + p(x),y = l(c1y1'+c2y2'r) + p(x),l(c1y1+c2y2r)
Fatorando c1 e c2, dá
c1,l(y1'+p(x),y1r) + c2,l(y2'+p(x),y2r)
Como cada parêntese é zero (pois y1 e y2 são soluções), a soma é zero. Logo y satisfaz
dydx + p(x),y = 0

Resposta

Mostramos que, para a equação homogênea dydx+p(x)y=0, se y1 e y2 são soluções então
y(x)=c1y1(x)+c2y2(x)
também é solução, pois a derivada e a multiplicação por p(x) são lineares e anulam-se usando a hipótese inicial.

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