Questão extra:
Considere a equação
. Mostre que se
e
são soluções desta equação, então
, com
e
constantes quaisquer, também é solução da equação.
Passo 1
O enunciado fala de uma equação diferencial linear de 1ª ordem
e pede para mostrar a propriedade de superposição de soluções. Na verdade essa propriedade vale se a equação for homogênea, ou seja, se
:
Vamos então assumir essa forma homogênea e usar o fato de que a derivada e a multiplicação por função são operações lineares.
Passo 2
Definimos
onde
e
satisfazem
Como a derivada é linear, temos
Passo 3
Substituindo
e
na equação homogênea, obtemos
Fatorando
e
, dá
Como cada parêntese é zero (pois
e
são soluções), a soma é zero. Logo
satisfaz
Resposta
Mostramos que, para a equação homogênea
, se
e
são soluções então
também é solução, pois a derivada e a multiplicação por
são lineares e anulam-se usando a hipótese inicial.