Utilize o teste da razão para determinar se cada uma das séries converge ou diverge.
sumn=1^infty 2^n+1n 3^n-1

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da razão na série
sumn=1^infty 2^n+1n,3^n-1
ou seja, determinar se a sequência dos termos gerais
an = 2^n+1n,3^n-1
gera uma série convergente ou divergente via
L = limntoinftyl|an+1/anr|.

Passo 2

Escrevemos o termo geral e o próximo termo:
an = 2^n+1n,3^n-1, an+1 = 2^(n+1)+1(n+1),3^(n+1)-1 = 2^n+2(n+1),3^n

Passo 3

Formamos a razão
an+1an = 2^n+2(n+1),3^n 2^n+1n,3^n-1 = 2^n+2(n+1),3^n cdot n,3^n-12^n+1 = nn+1,2^n+22^n+1,3^n-13^n = nn+1,23

Passo 4

Calculamos o limite da razão:
L = limntoinfty nn+1,23 = 1 cdot 23 = 23
Como L=tfrac23<1, a série converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^infty 2^n+1n,3^n-1 converge pelo teste da razão.

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