(1) Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas!
( ) |a+b|=|a|+|b|, forall a, b in R;

Passo 1

O enunciado nos pede para decidir se, para todo a,binR, vale a igualdade
|a+b| = |a| + |b|
O conteúdo aqui é a propriedade do valor absoluto, em particular a Desigualdade Triangular.

Passo 2

A Desigualdade Triangular afirma que, para quaisquer a,binR,
|a+b| <= |a| + |b|
Logo, a igualdade só pode ocorrer em casos especiais.

Passo 3

Para ver que nem sempre há igualdade, basta um contraexemplo. Por exemplo, tome a=1 e b=-1. Então
|a+b| = |1 + (-1)| = |0| = 0
enquanto
|a| + |b| = |1| + |-1| = 1 + 1 = 2
Logo, 0 neq 2, mostrando que a igualdade falha.

Passo 4

Na verdade, a igualdade |a+b| = |a| + |b| ocorre somente quando a e b têm mesmo sinal (ou um deles é zero), isto é, quando ab>=0. Em geral, para sinais opostos, a desigualdade é estrita.

Resposta

Falsa.

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