Considere o problema de valor inicial (PVI).
y^prime+2 y=3 t, y(0)=b
encontre o valor de b para o qual a solução tangencia a reta indentidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um problema de valor inicial, mais especificamente uma equação diferencial do tipo y' + 2y = 3t com a condição inicial y(0) = b . Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de b que faz com que a solução dessa equação tangencie a reta identidade, que é y = t . Para resolver isso, vamos precisar aplicar métodos de solução de equações diferenciais lineares de primeira ordem e entender o que significa tangenciar uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial y' + 2y = 3t . Essa é uma equação linear de primeira ordem, e podemos resolvê-la usando um fator integrante. O fator integrante mu(t) é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt
Onde P(t) é o coeficiente de y na equação, que aqui é 2. Então:
mu(t) = e^integral 2 dt = e^2t

Passo 3

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^2t y' + 2 e^2t y = 3t e^2t
Isso transforma a equação no lado esquerdo em uma derivada total, ou seja:
ddt ( e^2t y ) = 3t e^2t

Passo 4

Agora, integramos ambos os lados em relação a t :
integral ddt ( e^2t y ) dt = integral 3t e^2t dt
O lado esquerdo simplifica para e^2t y . Para o lado direito, usamos integração por partes onde:
integral t e^2t dt = t e^2t2 - e^2t4 + C
Portanto:
e^2t y = 3t e^2t2 - 3 e^2t4 + C

Passo 5

Dividindo todos os termos por e^2t para isolar y :
y = 3t2 - 34 + C e^-2t

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(0) = b :
b = 3(0)2 - 34 + C e^0
Simplificando:
b = -34 + C
Logo, C = b + 34 .

Passo 7

Agora temos a solução geral da equação diferencial:
y = 3t2 - 34 + ( b + 34 ) e^-2t

Passo 8

Queremos que essa solução tangencie a reta identidade y = t . Isso significa que, em algum ponto t = t0 , as duas funções devem ter o mesmo valor e a mesma derivada. Então, precisamos que:
y(t0) = t0 e y'(t0) = 1

Passo 9

Primeiro, igualamos os valores:
3t02 - 34 + ( b + 34 ) e^-2t0 = t0
Simplificando:
t02 - 34 + ( b + 34 ) e^-2t0 = 0

Passo 10

Agora, derivamos y(t) :
y' = 32 - 2 ( b + 34 ) e^-2t
Igualamos a derivada a 1 no ponto t0 :
32 - 2 ( b + 34 ) e^-2t0 = 1
Simplificando:
12 = 2 ( b + 34 ) e^-2t0
Ou seja:
( b + 34 ) e^-2t0 = 14

Passo 11

Voltando à equação do Passo 9:
t02 - 34 + 14 = 0
Simplificando:
t02 - 12 = 0 Rightarrow t0 = 1

Passo 12

Substituímos t0 = 1 na equação ( b + 34 ) e^-2 = 14 :
b + 34 = 14 e^2
Então:
b = 14 e^2 - 34

Resposta

O valor de b que faz a solução tangenciar a reta identidade é:
b = e^24 - 34

Exercícios relacionados