Considere o problema de valor inicial (PVI).
encontre o valor de
para o qual a solução tangencia a reta indentidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um problema de valor inicial, mais especificamente uma equação diferencial do tipo
com a condição inicial
. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de
que faz com que a solução dessa equação tangencie a reta identidade, que é
. Para resolver isso, vamos precisar aplicar métodos de solução de equações diferenciais lineares de primeira ordem e entender o que significa tangenciar uma reta.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação linear de primeira ordem, e podemos resolvê-la usando um fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Onde
é o coeficiente de
na equação, que aqui é 2. Então:
Passo 3
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso transforma a equação no lado esquerdo em uma derivada total, ou seja:
Passo 4
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para
. Para o lado direito, usamos integração por partes onde:
Portanto:
Passo 5
Dividindo todos os termos por
para isolar
:
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
:
Simplificando:
Logo,
.
Passo 7
Agora temos a solução geral da equação diferencial:
Passo 8
Queremos que essa solução tangencie a reta identidade
. Isso significa que, em algum ponto
, as duas funções devem ter o mesmo valor e a mesma derivada. Então, precisamos que:
Passo 9
Primeiro, igualamos os valores:
Simplificando:
Passo 10
Agora, derivamos
:
Igualamos a derivada a 1 no ponto
:
Simplificando:
Ou seja:
Passo 11
Voltando à equação do Passo 9:
Simplificando:
Passo 12
Substituímos
na equação
:
Então:
Resposta
O valor de
que faz a solução tangenciar a reta identidade é: