Determine a solução geral das equações diferenciais.
y^prime=(t+y+1)^2

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem
y' = (t + y + 1)^2
O conteúdo aqui é usar uma substituição que transforme essa equação numa forma separável. Vamos definir uma nova variável para simplificar o termo quadrático.

Passo 2

Fazemos a substituição
v = t + y + 1
Então ao derivar em relação a t temos
dvdt = 1 + dydt = 1 + y'

Passo 3

Como y' = (t + y + 1)^2, isto é, y' = v^2, obtemos
dvdt = 1 + v^2
Essa equação agora é separável em v e t.

Passo 4

Separamos as variáveis e integramos:
dv1 + v^2 = dt
Integrando ambos os lados,
integral dv1 + v^2 = integral dt ;Longrightarrow; arctan(v) = t + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável original, v = t + y + 1, temos
arctanl(t + y + 1r) = t + C ;Longrightarrow; t + y + 1 = tanl(t + Cr)
Isolando y,
y(t) = tanl(t + Cr) - t - 1

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
boxedy(t) = tanl(t + Cr) ;-; t ;-; 1,
onde C é constante arbitrária.

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