Determine a solução geral das equações diferenciais.
Passo 1
A equação é t y′ + y = 1/y². Isso cai numa equação de Bernoulli de 1ª ordem, pois podemos escrever na forma y′ + (1/t) y = (1/t) y^{−2}. Vamos usar o método de Bernoulli para resolver.
Passo 2
Colocando em forma padrão temos
Aqui P(t)=1/t, Q(t)=1/t e o expoente n=−2.
Passo 3
Fazemos a substituição
. Derivando,
, então podemos expressar y′ em termos de u′ e y.
Passo 4
Substituindo na equação original multiplicada por y² damos
Multiplicando por 3:
Passo 5
Para resolver a equação linear de u usamos fator integrante
. Assim
e portanto
Passo 6
Voltando para y, como
temos