Determine a solução geral das equações diferenciais.
t y^prime+y=1y^2

Passo 1

A equação é t y′ + y = 1/y². Isso cai numa equação de Bernoulli de 1ª ordem, pois podemos escrever na forma y′ + (1/t) y = (1/t) y^{−2}. Vamos usar o método de Bernoulli para resolver.

Passo 2

Colocando em forma padrão temos
y + 1ty = 1ty^-2
Aqui P(t)=1/t, Q(t)=1/t e o expoente n=−2.

Passo 3

Fazemos a substituição u = y^1−n = y^3. Derivando, u = 3y^2 y, então podemos expressar y′ em termos de u′ e y.

Passo 4

Substituindo na equação original multiplicada por y² damos
y^2y + 1ty^3 = 1t Longrightarrow 13u + 1tu = 1t
Multiplicando por 3:
u + 3tu = 3t

Passo 5

Para resolver a equação linear de u usamos fator integrante mu(t)=e^∫(3/t)dt=t^3. Assim
ddt(t^3 u)=3t^2 Longrightarrow t^3u=t^3+C
e portanto
u=1+Ct^-3

Passo 6

Voltando para y, como u=y^3 temos
y^3=1+Ct^3 Longrightarrow y=l(1+Ct^3r)^1/3

Resposta

y(t)=l(1+tfracCt^3r)^1/3

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