Um tanque, com capacidade para 500 galões, contém, originalmente, 200 galões de uma solução de água com 1001 l de sal. Uma solução de água contendo 1 lb de sal por galão entra a uma taxa de 3 galões por minuto e permite-se que a mistura saia a uma taxa de 2 galões por minuto.
Encontre a quantidade de sal no tanque no intante
.
Encontre a quantidade de sal no tanque no intante
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um tanque que pode segurar até 500 galões e, inicialmente, ele já tem 200 galões de uma solução que contém 1001 libras de sal. Uma solução nova, com 1 libra de sal por galão, está entrando no tanque a uma taxa de 3 galões por minuto, enquanto a mistura está saindo a 2 galões por minuto. Nosso objetivo é descobrir quanta sal está no tanque em um instante qualquer de tempo, que vamos chamar de
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais aplicadas a misturas e taxas de variação. Precisamos entender como a quantidade de sal no tanque muda ao longo do tempo, considerando o que entra e o que sai.
Passo 2
Vamos começar definindo uma função que representa a quantidade de sal no tanque em função do tempo. Vamos chamar essa função de
, onde
está em libras e
em minutos.
A variação da quantidade de sal no tanque depende de duas coisas:
- Sal entrando no tanque: A solução que entra tem 1 libra de sal por galão, e está entrando a 3 galões por minuto. Então, a taxa de entrada de sal é:
- Sal saindo do tanque: A mistura está saindo a 2 galões por minuto. A concentração de sal que sai depende de quanta sal tem no tanque no momento. Se temos
libras de sal em galões de solução, a concentração é lb/galão. Então, a taxa de saída de sal é:
Precisamos também entender como o volume de água no tanque muda ao longo do tempo.
Passo 3
Vamos analisar a variação do volume de água no tanque,
. Inicialmente, temos 200 galões, e a solução está entrando a 3 galões por minuto e saindo a 2 galões por minuto. Assim, a taxa de variação do volume é:
Isso significa que, a cada minuto, o volume de solução no tanque aumenta em 1 galão. Então, podemos escrever:
Passo 4
Agora, voltando à taxa de variação do sal no tanque,
. Como mencionamos, essa taxa é igual à taxa de entrada menos a taxa de saída:
Substituindo
:
Passo 5
Essa é uma equação diferencial que podemos resolver usando um fator integrante. Primeiro, vamos rearranjar a equação:
O fator integrante
é dado por:
Multiplicando todos os termos da equação pela
:
O lado esquerdo agora é a derivada de
:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Calculando a integral:
Passo 7
Agora, isolamos
:
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial. Sabemos que, no tempo
, temos 1001 lb de sal:
Passo 8
Substituindo
de volta na expressão de
:
Simplificando:
Resposta
A quantidade de sal no tanque no instante
é dada por: