Considere o problema de valor inicial 4 y^prime prime-8 y^prime+3 y=0, y(0)=2, y^prime(0)=1 / 2. Sejam lambda1 >= lambda2 as raízes da equação característica. Podemos afirmar que a solução deste problema é: nenhuma das demais alternativas.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial para a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
4y''-8y'+3y=0,
com condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=tfrac12. O conteúdo aqui é resolver equações de Cauchy–Euler de coeficientes constantes: primeiro achamos as raízes da equação característica e depois aplicamos as condições iniciais.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada:
4r^2-8r+3=0
Para resolver, usamos a fórmula de Bhaskara:
r=8pmraiz(-8)^2-4cdot4cdot32cdot4 =8pmraiz64-488 =8pm48
Logo as raízes são
lambda1=128=32, lambda2=48=12,
com lambda1>=lambda2.

Passo 3

A solução geral da equação homogênea é
y(t)=C1e^32t+C2e^12t,
onde C1 e C2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Calculamos a derivada:
Em
Multiplicando a segunda equação por . Subtraindo da primeira vezes :
Então .]

Resposta

y(t)=-12,e^32t+52,e^12t

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