Com relação ao problema de valor inicial y^prime-y=t, y(0)=4; é correto afirmar que o fator integrante mu(t) e a solução y(t) são respectivamente: nenhuma das demais alternativas.

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial
y' - y = t, y(0)=4
Este é um EDO linear de primeira ordem da forma y' + P(t),y = Q(t) com P(t) = -1 e Q(t)=t. Vamos usar o método do fator integrante para encontrar mu(t) e depois obter a solução y(t).

Passo 2

O fator integrante mu(t) é dado por
mu(t) = expl(integral P(t),dtr) = expl(integral -1,dtr) = e^-t

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(t)=e^-t, obtemos
e^-ty' - e^-ty = t,e^-t
O lado esquerdo é a derivada do produto e^-ty, ou seja,
ddtl(e^-tyr) = t,e^-t
Agora integramos ambos os lados:
e^-ty = integral t,e^-t,dt
Para calcular integral t e^-t,dt, usamos integração por partes com u=t, dv=e^-tdt, resultando em
integral t,e^-t,dt = - (t+1),e^-t + C
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e^-ty = - (t+1),e^-t + C

Passo 4

Multiplicamos por e^t para isolar y:
y = -(t+1) + C,e^t
Usando a condição inicial y(0)=4, temos
4 = -(0+1) + Ccdot e^0 ;Longrightarrow; 4 = -1 + C ;Longrightarrow; C = 5
Portanto a solução é
y(t) = 5,e^t - (t+1) = 5e^t - t - 1

Resposta

mu(t) = e^-t e y(t) = 5e^t - t - 1.

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