Com relação ao problema de valor inicial d yd x=raiz-y^2+1+raiz1-x, y(x0)=y0; qual das alternativas representa todos os pontos (x0, y0) para os quais podemos garantir que temos uma única solução? x0 <= 1 e |y0| <= 1.

Passo 1

O enunciado dá o PVI
dydx = raiz-y^2 + 1 , + , raiz,1 - x,, y(x0)=y0
e pede para determinar todos os (x0,y0) que garantem solução única. Vamos usar o Teorema de Picard–Lindel"of (existência e unicidade), que exige que
1. f(x,y)=raiz1-y^2+raiz1-x seja contínua num retângulo contendo (x0,y0),
2. f seja Lipschitz em y nesse retângulo.

Passo 2

Para f estar bem definida precisamos dos radicandos não negativos:
1 - y^2 >= 0 implies |y|<= 1, 1 - x >= 0 implies x<= 1
Logo o domínio natural de f é
D=(x,y)mid x<= 1,;|y|<= 1

Passo 3

Em D cada termo raiz1-y^2 e raiz1-x é contínuo (até mesmo nos pontos em que o radicando é zero), logo f é contínua em todo D. Assim o Teorema garante existência de solução em torno de qualquer (x0,y0)in D.

Passo 4

Calculando a derivada parcial em y:
partial fpartial y =ddyraiz1-y^2 =-yraiz1-y^2,
Esse termo é contínuo sempre que |y|<1, o que implica que em qualquer retângulo contido em (x,y)mid x<=1,;|y|<1 a função f é Lipschitz em y. Portanto, para garantir unicidade pelo Teorema de Picard–Lindel"of, precisamos de |y0|<1.

Resposta

x0<= 1 e |y0|<= 1

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