Dado que y1(t)=t^2 é uma solução da equação t^2 y^prime prime-4 t y^prime+6 y=0, t>0; podemos afirmar que uma segunda solução y2(t), bem como o Wronskiano W(y1, y2)(t) são: y2(t)=t^3 e W(t)=t^4.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação de Euler
t^2y''-4t,y'+6y=0, t>0
e informa que uma solução já conhecida é y1(t)=t^2. O objetivo é encontrar a segunda solução fundamental y2(t) e o Wronskiano W(y1,y2)(t).

Passo 2

Para resolver uma equação de Euler, fazemos a tentativa y=t^r. Substituindo em
t^2y''-4t,y'+6y=0
temos
r(r-1)t^r-4r,t^r+6t^r=0
l[r(r-1)-4r+6r]t^r=0
r^2-5r+6=0
As raízes são r=2 e r=3. Isso gera as duas soluções independentes
y1(t)=t^2, y2(t)=t^3

Passo 3

O Wronskiano de e é

Resposta

A segunda solução é
y2(t)=t^3
e o Wronskiano é
W(y1,y2)(t)=t^4

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