Questão 2 - Um esquema simplificado de uma bomba que retira água (massa especifica igual a 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e viscosidade igual a 0,001 \mathrm{~Pa} . \mathrm{s} ), através de um duto de diametro interno D=10 \mathrm{~cm}, de um reservatório de grandes dimensōes com a superficie livre (S.L.) mantida em nivel constante ( \mathrm{h}=3 \mathrm{~m} ). A água é descarregada, com vazão constante \mathrm{Q}=0,02 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, a uma altura \mathrm{H}=38 \mathrm{~m} acima da bomba, atraves de um duto de diametro interno \mathrm{d}=8 \mathrm{~cm}, em uma caixa-d’água aberta para a atmosfera. Considerando que entre as seções (1) e (2) mostradas existe uma perda de carga total \mathrm{H}_{\mathrm{T}}=2 \mathrm{~m}, determine a poténcia de alimentação (W) da bomba, considerando uma eficiência de 85 \%. ( 3 pontos)

Passo 1

O enunciado descreve uma bomba que retira água de um reservatório com superfície livre mantida em h=3\,\mathrm{m} acima da bomba (seção 1) e a lança, com vazão constante Q=0,02\,\mathrm{m^3/s}, a uma altura H=38\,\mathrm{m} acima da bomba (seção 2). Entre 1 e 2 há perda de carga total H_T=2\,\mathrm{m}. Queremos a potência de alimentação da bomba considerando eficiência \eta=85\%. Vamos usar a equação de Bernoulli com termo de bomba e converter o resultado em potência hidráulica e, em seguida, em potência de eixo.

Passo 2

Calculamos as velocidades médias em 1 e 2:
A_1 = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi(0,10)^2}{4},\quad A_2 = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi(0,08)^2}{4}.
v_1 = \frac{Q}{A_1} \approx \frac{0,02}{\pi\cdot0,10^2/4} \approx 2,547\,\mathrm{m/s}, \quad v_2 = \frac{Q}{A_2} \approx \frac{0,02}{\pi\cdot0,08^2/4} \approx 3,979\,\mathrm{m/s}.

Passo 3

Aplicamos a equação de Bernoulli entre 1 e 2, incluindo a contribuição da bomba H_p e a perda de carga H_T:
\frac{p_1}{\gamma} + z_1 + \frac{v_1^2}{2g} + H_p = \frac{p_2}{\gamma} + z_2 + \frac{v_2^2}{2g} + H_T.
Como p_1=p_2 (aberto à atmosfera) e \frac{p_1}{\gamma}=\frac{p_2}{\gamma}=0, temos
H_p = (z_2 - z_1) + \frac{v_2^2 - v_1^2}{2g} + H_T.

Passo 4

Substituindo z_2=38\,\mathrm{m}, z_1=3\,\mathrm{m}, H_T=2\,\mathrm{m}, g=9,81\,\mathrm{m/s^2}:
H_p = (38 - 3) + \frac{3,979^2 - 2,547^2}{2\cdot9,81} + 2 \approx 35 + 0,476 + 2 = 37,476\,\mathrm{m}.

Passo 5

A potência hidráulica fornecida à água é
P_{\text{hid}} = \rho\,g\,Q\,H_p = 1000\cdot9,81\cdot0,02\cdot37,476 \approx 7\,353\,\mathrm{W}.

Passo 6

Considerando eficiência \eta=0,85, a potência de alimentação da bomba é
P_{\text{eixo}} = \frac{P_{\text{hid}}}{\eta} \approx \frac{7\,353}{0,85} \approx 8\,656\,\mathrm{W}.

Resposta

8{,}66\text{ kW} (aproximadamente)

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