Verifique que a conclusão do Teorema de Clairaut é válida, isto é, u_xy = u_yx.
u = arcsen(x y^2)

Passo 1

Então, vamos lá! O que a questão está pedindo é para verificar se, para a função , as derivadas parciais mistas e são iguais. Isso está relacionado ao Teorema de Clairaut, que diz que, sob certas condições, a ordem das derivadas parciais não altera o resultado. Para resolver isso, vamos calcular e passo a passo e comparar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função dada é:
Para derivar em relação a , usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , então aplicando a regra da cadeia:
Agora, derivamos em relação a :
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :
Vamos usar a regra do quociente e a regra da cadeia para essa derivação. Primeiro, identificamos as partes:
  • Numerador:
  • Denominador:
Derivamos o numerador e o denominador em relação a :
  • Derivada do numerador:
  • Derivada do denominador:
Agora, aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Multiplicando termos:
Simplificando o numerador:
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular e depois derivar em relação a para encontrar .
Primeiro, derivamos em relação a :
Usando a regra da cadeia novamente:
Derivando em relação a :
Portanto:
Agora, derivamos em relação a para encontrar :
Usando a regra do quociente:
Derivamos o numerador e o denominador em relação a :
  • Derivada do numerador:
  • Derivada do denominador:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Multiplicando termos:
Simplificando o numerador:
Então:

Resposta

Como vimos, . Portanto, a conclusão do Teorema de Clairaut é válida para a função dada.

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