Verifique que a conclusão do Teorema de Clairaut é válida, isto é,
.
Passo 1
Então, vamos lá! O que a questão está pedindo é para verificar se, para a função , as derivadas parciais mistas
e
são iguais. Isso está relacionado ao Teorema de Clairaut, que diz que, sob certas condições, a ordem das derivadas parciais não altera o resultado. Para resolver isso, vamos calcular
e
passo a passo e comparar os resultados.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função dada é:
Para derivar
em relação a
, usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a
é
, então aplicando a regra da cadeia:
Agora, derivamos
em relação a
:
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Vamos usar a regra do quociente e a regra da cadeia para essa derivação. Primeiro, identificamos as partes:
- Numerador:
- Denominador:
Derivamos o numerador e o denominador em relação a
:
- Derivada do numerador:
- Derivada do denominador:
Agora, aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Multiplicando termos:
Simplificando o numerador:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular
e depois derivar em relação a
para encontrar
.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Usando a regra da cadeia novamente:
Derivando
em relação a
:
Portanto:
Agora, derivamos
em relação a
para encontrar
:
Usando a regra do quociente:
Derivamos o numerador e o denominador em relação a
:
- Derivada do numerador:
- Derivada do denominador:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Multiplicando termos:
Simplificando o numerador:
Então:
Resposta
Como vimos, . Portanto, a conclusão do Teorema de Clairaut é válida para a função dada.