Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente das derivadas parciais. Para resolver isso, precisamos saber como calcular derivadas parciais de funções que dependem de mais de uma variável e depois aplicar isso para encontrar as derivadas de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar de quais variáveis nossa função depende. Aqui,
depende de
e
. Então, teremos derivadas parciais em relação a
e a
.
Vamos encontrar as primeiras derivadas parciais:
-
Derivada parcial de
em relação a ( ): Para derivar em relação a, tratamos como uma constante. Usamos a regra da cadeia: Sabemos que. Aqui, , então: Substituindo: -
Derivada parcial de
em relação a ( ): Aqui, tratamoscomo uma constante, então a derivada é simplesmente:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem.
-
Derivada segunda de
em relação a ( ): Já temos. Vamos derivar isso em relação a : Podemos reescrever como:Usando a regra da cadeia:Calculando, então: -
Derivada mista de
em relação a e depois a ( ): Partimos de. Ao derivar em relação a : -
Derivada mista de
em relação a e depois a ( ): Partimos de. Ao derivar em relação a : Observe que, o que está de acordo com a teoria das derivadas mistas. -
Derivada segunda de
em relação a ( ): Comonão depende de , a derivada é:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são: