Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem .
z = t * arcsen(raiz(x))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente das derivadas parciais. Para resolver isso, precisamos saber como calcular derivadas parciais de funções que dependem de mais de uma variável e depois aplicar isso para encontrar as derivadas de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar de quais variáveis nossa função depende. Aqui, depende de e . Então, teremos derivadas parciais em relação a e a .
Vamos encontrar as primeiras derivadas parciais:
  1. Derivada parcial de em relação a ( ):
    Para derivar em relação a , tratamos como uma constante. Usamos a regra da cadeia:
    Sabemos que . Aqui, , então:
    Substituindo:
  2. Derivada parcial de em relação a ( ):
    Aqui, tratamos como uma constante, então a derivada é simplesmente:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem.
  1. Derivada segunda de em relação a ( ):
    Já temos . Vamos derivar isso em relação a :
    Podemos reescrever como:
    Usando a regra da cadeia:
    Calculando , então:
  2. Derivada mista de em relação a e depois a ( ):
    Partimos de . Ao derivar em relação a :
  3. Derivada mista de em relação a e depois a ( ):
    Partimos de . Ao derivar em relação a :
    Observe que , o que está de acordo com a teoria das derivadas mistas.
  4. Derivada segunda de em relação a ( ):
    Como não depende de , a derivada é:

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

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