Considere o problema de valor inicial
4 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+y=0, y(0)=1, y^{\prime}(0)=b
a) Resolva o problema de valor inicial
(b) Se \varphi é uma solução, encontre as coordenadas \left(t_{M}, y_{M}\right) de máximo em função de b.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
4\,y'' + 4\,y' + y = 0,\quad y(0)=1,\;y'(0)=b,
que é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos primeiro achar a solução geral e depois impor as condições iniciais. Em seguida vamos encontrar o instante t_M em que essa solução atinge um máximo e a imagem y_M correspondente.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada:
4r^2 + 4r + 1 = 0.
O discriminante é \Delta = 4^2 - 4\cdot4\cdot1 = 16 -16 = 0, logo há raiz dupla
r = \frac{-4}{2\cdot4} = -\tfrac12.
Assim a solução geral é
y(t) = (A + B\,t)\,e^{-t/2}.
Impondo y(0)=1 vem A = 1. Para y'(t) usamos a regra do produto:
y'(t) = \bigl(B - \tfrac12(A + B\,t)\bigr)\,e^{-t/2}.
Em t=0 isso dá
y'(0) = \bigl(B - \tfrac12 A\bigr) = b \quad\Longrightarrow\quad B = b + \tfrac12.
Portanto a solução do IVP é
\boxed{y(t) = \bigl(1 + (b+\tfrac12)\,t\bigr)\,e^{-t/2}.}

Passo 3

Para achar o máximo, procuramos t tal que y'(t)=0 e y''(t)<0. O fator e^{-t/2} nunca anula, então basta zerar o numerador de
y'(t) = \bigl((b+\tfrac12) - \tfrac12 (1 + (b+\tfrac12)\,t)\bigr)\,e^{-t/2}.

Passo 4

Resolvendo
(b+\tfrac12) - \tfrac12\bigl(1 + (b+\tfrac12)\,t\bigr) = 0 \;\Longrightarrow\; 2(b+\tfrac12) - \bigl(1 + (b+\tfrac12)\,t\bigr) = 0 \;\Longrightarrow\; 2b - (b+\tfrac12)\,t = 0
\Longrightarrow\; t_M = \frac{2b}{\,b+\tfrac12\,} = \frac{4b}{2b+1}.

Passo 5

A ordenada do máximo é
y_M = y(t_M) = \Bigl[1 + (b+\tfrac12)\,t_M\Bigr]\,e^{-t_M/2}.
Substituindo t_M = \tfrac{4b}{2b+1} obtém-se
1 + (b+\tfrac12)\,t_M = \frac{(2b+1)^2}{2b+1} = 2b+1, \quad \frac{t_M}{2} = \frac{2b}{2b+1},
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\boxed{y_M = (2b+1)\,\exp\!\Bigl(-\tfrac{2b}{2b+1}\Bigr).}

Resposta

y(t) = \bigl(1 + (b+\tfrac12)\,t\bigr)e^{-t/2},
t_M = \frac{4b}{2b+1}, \quad y_M = (2b+1)\,e^{-\tfrac{2b}{2b+1}}.

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