Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
b) 9 y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
9\,y'' - 6\,y' + y = 0.
O método a usar é o da equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução da forma y=e^{r x}. Substituindo na equação diferencial, obtemos a equação característica
9 r^2 - 6 r + 1 = 0.

Passo 3

Calculamos o discriminante dessa equação quadrática:
\Delta = (-6)^2 - 4\cdot9\cdot1 = 36 - 36 = 0,
logo há uma raiz dupla
r = \frac{6}{2\cdot9} = \frac{1}{3}.

Passo 4

Para uma raiz dupla r=\tfrac13, a solução geral da equação homogênea é
y(x) = \bigl(C_1 + C_2\,x\bigr)\,e^{r x}
substituindo r,
y(x) = \bigl(C_1 + C_2\,x\bigr)\,e^{x/3}.

Resposta

y(x) = \bigl(C_1 + C_2\,x\bigr)e^{x/3}.

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