Considere o problema de valor inicial
y^prime prime+2 y^prime+6 y=0, y(0)=2, y^prime(0)=alpha >= 0
(a) Encontre a solução y(t) deste problema.
(b) Encontre alpha tal que y=0 quando t=1.
(c) Encontre o menor valor positivo de t, em função de alpha, para o qual y=0.
(d) Determine o limite da expressão encontrada no item (c) quando alpha infty.

Passo 1

O enunciado trata de um problema de valor inicial para a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' + 6y = 0, y(0)=2, y'(0)=alpha>=0
Vamos (a) encontrar a solução geral e impor as condições iniciais, (b) achar o valor de alpha que zera y em t=1, (c) determinar o primeiro t>0 tal que y(t)=0, e (d) calcular o limite desse tempo quando alphatoinfty.

Passo 2

Para resolver
y'' + 2y' + 6y = 0
montamos a equação característica
r^2 + 2r + 6 = 0,
cuja solução é
r = -1 pm iraiz5
Logo a solução geral é
y(t) = e^-tl(Ccos(raiz5,t) + Dsin(raiz5,t)r)
Impondo y(0)=2 obtemos
y(0)=C=2
Agora calculamos y'(t). Primeiro, em forma explícita,
y'(t) = -e^-tl(Ccos(raiz5,t)+Dsin(raiz5,t)r) + e^-tl(-Craiz5sin(raiz5,t)+Draiz5cos(raiz5,t)r)
Em t=0 isso vale
y'(0) = -C + Draiz5 = alpha
Como C=2, segue
-2 + Draiz5 = alpha Longrightarrow D = alpha + 2raiz5
Portanto a solução do item (a) é
boxedy(t) = e^-tl(2cos(raiz5,t) + alpha + 2raiz5,sin(raiz5,t)r)

Passo 3

Para o item (b) queremos y(1)=0. Como e^-1neq0, basta zerar o parêntese:
2cos(raiz5) + alpha + 2raiz5,sin(raiz5) = 0
Isolando alpha
alpha + 2raiz5,sin(raiz5) = -2cos(raiz5) Longrightarrow alpha + 2 = -2raiz5;cos(raiz5)sin(raiz5)
boxedalpha = -2 - 2raiz5,cot(raiz5)

Passo 4

No item (c) buscamos o menor t>0 tal que y(t)=0. De novo o fator e^-t não zera, então definimos
f(t) = 2cos(raiz5,t) + alpha + 2raiz5sin(raiz5,t)
e queremos f(t)=0. Isso equivale a
tan(raiz5,t) = -,2raiz5alpha+2
Seja
theta = arctan!l(2raiz5alpha+2r)inl(0,tfracpi2r)
Como queremos tan(raiz5,t)=-tan(theta), o menor raiz5,t>0 que satisfaz é
raiz5,t = pi - theta Longrightarrow boxedt = pi - arctan!l(tfrac2raiz5alpha+2r)raiz5

Passo 5

Para o item (d) estudamos o limite de
t(alpha) = pi - arctan!l(tfrac2raiz5alpha+2r)raiz5
quando alphatoinfty. Note que
2raiz5alpha+2;longrightarrow;0 Longrightarrow arctan!l(2raiz5alpha+2r);longrightarrow;0
Logo
boxedlimalphatoinftyt(alpha) = piraiz5

Resposta

(a) y(t) = e^-tl(2cos(raiz5,t) + alpha + 2raiz5sin(raiz5,t)r)
(b) alpha = -2 - 2raiz5,cot(raiz5)
(c) t = pi - arctan!l(tfrac2raiz5alpha+2r)raiz5
(d) limalphatoinftyt = piraiz5

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