Considere o problema de valor inicial
(a) Encontre a solução
deste problema.
(b) Encontre
tal que
quando
.
(c) Encontre o menor valor positivo de
, em função de
, para o qual
.
(d) Determine o limite da expressão encontrada no item (c) quando
.
(b) Encontre
(c) Encontre o menor valor positivo de
(d) Determine o limite da expressão encontrada no item (c) quando
Passo 1
O enunciado trata de um problema de valor inicial para a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
Vamos (a) encontrar a solução geral e impor as condições iniciais, (b) achar o valor de
que zera
em
, (c) determinar o primeiro
tal que
, e (d) calcular o limite desse tempo quando
.
Passo 2
Para resolver
montamos a equação característica
cuja solução é
Logo a solução geral é
Impondo
obtemos
Agora calculamos
. Primeiro, em forma explícita,
Em
isso vale
Como
, segue
Portanto a solução do item (a) é
Passo 3
Para o item (b) queremos
. Como
, basta zerar o parêntese:
Isolando
dá
Passo 4
No item (c) buscamos o menor
tal que
. De novo o fator
não zera, então definimos
e queremos
. Isso equivale a
Seja
Como queremos
, o menor
que satisfaz é
Passo 5
Para o item (d) estudamos o limite de
quando
. Note que
Logo
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)