Exercício 2. Resolva as equações diferenciais abaixo, determinando a solução geral a partir do método de variação de parâmetros
  • a) y^prime prime-2 y^prime+y=e^t1+t^2.
  • b) y^prime prime-6 y^prime+9 y=t^-2 e^3 t.
  • c) y^prime prime+4 y=cos (t) cos (3 t).
  • d) y^prime prime-4 y=(t+1)^2 t

Passo 1

O enunciado pede para resolver quatro equações diferenciais lineares de segunda ordem não homogêneas via método de variação de parâmetros. As equações são
y''-2y'+y=e^t1+t^2,
y''-6y'+9y=t^-2e^3t,
y''+4y=cos tcos3t
e
y''-4y=(t+1)^2t.
Para cada uma vamos determinar primeiro a solução geral da homogênea, depois construir uma solução particular por variação de parâmetros.

Passo 2

Seja
y1(t),y2(t)
um conjunto fundamental de soluções da homogênea
y''+p(t)y'+q(t)y=0.
Define-se o Wronskiano
W(t)=y1(t)y2'(t)-y1'(t)y2(t)
e, para a não homogeneidade g(t),
u1'(t)=-y2(t),g(t)W(t), u2'(t)=y1(t),g(t)W(t),
então yp(t)=y1(t)integral u1'(t),dt ;+;y2(t)integral u2'(t),dt ã
A solução geral é
y(t)=C1y1(t)+C2y2(t)+yp(t)

Passo 3

Para (a) y''-2y'+y=e^t1+t^2:
A equação característica é r^2-2r+1=(r-1)^2, com solução dupla r=1.
Logo
y1=e^t,;y2=te^t,
W=e^t,(e^t+te^t)-e^tcdot e^t = e^2t
Aqui g(t)=e^t/(1+t^2). Assim
u1'=-y2,gW =-t e^tcdote^t1+t^2e^2t =-t1+t^2, u2'=y1,gW =e^tcdote^t1+t^2e^2t =11+t^2
Integramos:
u1=-tfrac12ln(1+t^2), u2=arctan t
Logo
yp=e^tl(-tfrac12ln(1+t^2)r) +te^tl(arctan tr) =e^tl(-tfrac12ln(1+t^2)+tarctan tr)
Portanto
y=C1e^t+C2te^t +e^tl(-tfrac12ln(1+t^2)+tarctan tr)

Passo 4

Para (b) y''-6y'+9y=t^-2e^3t:
Característica (r-3)^2=0
y1=e^3t,;y2=te^3t,
W=e^3t(3te^3t+e^3t)-3e^3tcdot te^3t =e^6t
Aqui g=t^-2e^3t. Então
u1'=-t e^3tcdot t^-2e^3te^6t =-1t, u2'=e^3tcdot t^-2e^3te^6t =1t^2
Integramos:
u1=-ln|t|, u2=-t^-1
Assim
yp=e^3t(-ln|t|)+te^3t(-t^-1) =-e^3tln|t|-e^3t,
e
y=C1e^3t+C2te^3t-e^3tl(1+ln|t|r)

Passo 5

Para (c) y''+4y=cos tcos3t:
Homogênea y''+4y=0 tem
y1=cos2t,;y2=sin2t,
W=2
Como cos tcos3t=tfrac12(cos4t+cos2t), temos
u1'=-sin2t2l(tfrac12cos4t+tfrac12cos2tr), u2'=cos2t2l(tfrac12cos4t+tfrac12cos2tr)
Após usar identidades trigonométricas e integrar, obtemos expressões em termos de senos e cossenos de múltiplos de t e um termo proporcional a t. O resultado particular pode ser escrito como
yp=cos2t;u1(t)+sin2t;u2(t),
em que
u1(t)=148cos6t-116cos2t+132cos4t,
u2(t)=t8+116sin2t+132sin4t+148sin6t
Logo
y=C1cos2t+C2sin2t +cos2t,u1(t)+sin2t,u2(t)

Passo 6

Para (d) y''-4y=(t+1)^2t:
A homogênea y''-4y=0 tem
y1=e^2t,;y2=e^-2t,
W=-4
Denotando g(t)=(t+1)^2t, a solução particular vem de
yp=-e^2t4integral e^-2tg(t),dt +e^-2t4integral e^2tg(t),dt,
e a solução geral é
y=C1e^2t+C2e^-2t+yp

Resposta

(a) y=C1e^t+C2te^t+e^tl(-tfrac12ln(1+t^2)+tarctan tr).
(b) y=C1e^3t+C2te^3t-e^3tl(1+ln|t|r).
(c) y=C1cos2t+C2sin2t+cos2t,u1(t)+sin2t,u2(t) com u1,u2 dados acima.
(d) y=C1e^2t+C2e^-2t-e^2t4!integral e^-2t(t+1)^2tdt+e^-2t4!integral e^2t(t+1)^2tdt

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