Exercício 2. Resolva as equações diferenciais abaixo, determinando a solução geral a partir do método de variação de parâmetros
- a)
.
- b)
.
- c)
.
- d)
Passo 1
O enunciado pede para resolver quatro equações diferenciais lineares de segunda ordem não homogêneas via método de variação de parâmetros. As equações são
,
,
e
.
Para cada uma vamos determinar primeiro a solução geral da homogênea, depois construir uma solução particular por variação de parâmetros.
e
Para cada uma vamos determinar primeiro a solução geral da homogênea, depois construir uma solução particular por variação de parâmetros.
Passo 2
Seja
um conjunto fundamental de soluções da homogênea
.
Define-se o Wronskiano
um conjunto fundamental de soluções da homogênea
Define-se o Wronskiano
e, para a não homogeneidade
,
A solução geral é
Passo 3
Para (a)
:
A equação característica é , com solução dupla
.
Logo
,
A equação característica é
Logo
Aqui
. Assim
Integramos:
Logo
Portanto
Passo 4
Para (b)
:
Característica dá
,
Característica
Aqui
. Então
Integramos:
Assim
e
Passo 5
Para (c)
:
Homogênea tem
,
Homogênea
Como
, temos
Após usar identidades trigonométricas e integrar, obtemos expressões em termos de senos e cossenos de múltiplos de
e um termo proporcional a
. O resultado particular pode ser escrito como
em que
Logo
Passo 6
Para (d)
:
A homogênea tem
,
A homogênea
Denotando
, a solução particular vem de
e a solução geral é
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) com
dados acima.
(d)
(b)
(c)
(d)