Encontre as raízes dos polinômios de terceiro grau e escreva na forma fatorada:
x^3-6 x^2+13 x-20

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as raízes do polinômio de terceiro grau
x^3-6x^2+13x-20
e escrevê-lo na forma fatorada. O conteúdo é o estudo de raízes de polinômios, onde usaremos o Teorema das Raízes Racionais para identificar um divisor inteiro do termo constante e, em seguida, faremos divisão sintética para reduzir o grau do polinômio.

Passo 2

Aplicamos o Teorema das Raízes Racionais: possíveis raízes são os divisores de -20, ou seja, pm1,pm2,pm4,pm5,pm10,pm20. Testando x=4:
f(4)=4^3-6cdot4^2+13cdot4-20 =64-96+52-20=0,
logo x=4 é raiz.

Passo 3

Fazemos divisão sintética de x^3-6x^2+13x-20 por x-4.
Colocando os coeficientes 1,,-6,,13,,-20 e usando 4:
r|rrrr 4 & 1 & -6 & 13 & -20 & & 4 & -8 & 20hline & 1 & -2 & 5 & 0
O quociente é x^2-2x+5 e o resto é zero, confirmando a raiz. Assim
x^3-6x^2+13x-20=(x-4)l(x^2-2x+5r)

Passo 4

Agora resolvemos a equação quadrática
x^2-2x+5=0
pela fórmula de Bhaskara:
x=2pmraiz(-2)^2-4cdot1cdot52 =2pmraiz4-202 =2pmraiz-162 =1pm2,i

Passo 5

Portanto, as três raízes são
x=4, x=1+2i, x=1-2i
e a fatoração completa, sobre C, é
(x-4),(x-(1+2i)),(x-(1-2i))
Se quisermos a forma fatorada sobre R, usamos o fator quadrático irreduzível:
(x-4),(x^2-2x+5)

Resposta

Raízes: 4,;1+2i,;1-2i.
Fatoração em R: (x-4)(x^2-2x+5).
Fatoração em C: (x-4)(x-(1+2i))(x-(1-2i)).

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