Encontre as raízes dos polinômios de terceiro grau e escreva na forma fatorada:
x^3+3 x^2-10 x-24

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as raízes do polinômio de terceiro grau
x^3 + 3x^2 - 10x - 24
e depois escrevê-lo na forma fatorada. O conteúdo que vamos usar é o Teorema das Raízes Racionais para um polinômio com coeficiente líder 1 e a técnica de divisão de polinômios (ou divisão sintética).

Passo 2

Pelo Teorema das Raízes Racionais, qualquer raiz racional r de
x^3 + 3x^2 - 10x - 24 = 0
deve ser da forma
r = pm pq,
onde p divide o termo independente -24 e q divide o coeficiente de x^3, que é 1. Logo os candidatos são
pm1,pm2,pm3,pm4,pm6,pm8,pm12,pm24

Passo 3

Testando alguns valores, calculamos
f(3) = 3^3 + 3cdot3^2 -10cdot3 -24 = 27 + 27 -30 -24 = 0
Como f(3)=0, concluímos que x=3 é uma raiz do polinômio, ou seja, (x-3) é um fator.

Passo 4

Agora dividimos por . Usando divisão sintética:
A linha de baixo mostra o quociente e resto zero, confirmando que

Passo 5

Para fatorar o quociente x^2+6x+8, buscamos suas raízes. Podemos tentar fatorar diretamente: dois números que somem 6 e multipliquem 8 são 2 e 4. Logo
x^2+6x+8 = (x+2)(x+4)
As raízes correspondentes são x=-2 e x=-4.

Resposta

x^3+3x^2-10x-24 = (x-3)(x+2)(x+4)

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