Use as técnicas abordadas em sala de aula para determinar as soluções das seguintes equações diferenciais ordinárias de primeira ordem.
y(x) ln (x) d x-2 y(x) d y=0.

Passo 1

O enunciado dá a EDO de 1ª ordem
y(x)ln(x),dx - 2y(x),dy = 0
Vamos reescrever em forma de derivada para identificar o método: separação de variáveis.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por dx e usando y' = dydx, obtemos
yln x - 2y,y' = 0
Isso nos permite isolar y'.

Passo 3

Isolando y':
2y,dydx = yln x
Como assumimos yneq0, dividimos por y:
2dydx = ln x Longrightarrow dydx = ln x2
Agora podemos separar as variáveis.

Passo 4

Separamos e integramos ambos os lados:
integral dy = integral 12ln x,dx
O lado esquerdo fica simplesmente y, e o direito requer integração por partes.

Passo 5

Para calcular integral ln x,dx, escolhemos
u = ln x, dv = dx
du = tfrac1xdx, v = x.
Pela fórmula de partes:
integral ln x,dx = xln x - x + C'
Logo
integral tfrac12ln x,dx = tfrac12(xln x - x) + C

Passo 6

Finalizando, igualamos as integrais e escrevemos a constante geral.

Resposta

y(x)=tfracxln x - x2 + C

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