Considere o problema de valor inicial
y^{\prime \prime}+y=\operatorname{sec} (x), \quad y(0)=1 \quad \text { e } \quad y^{\prime}(0)=0
(a) A EDO em (3) é linear ou não linear?
Linear pois pode ser escrita na forma y^{\prime \prime}+p_{1}(x) y^{\prime}+p_{0}(x) y=g(x)
(b) Determine o maior intervalo no qual sua solução certamente existe (e é única).
R: \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)
(c) Obtenha a solução do PVI. R: y(x)=\cos (x)+x \sin (x)+\cos (x) \ln |\cos (x)|

Passo 1

Enunciado e o que se pede: temos o problema de valor inicial
y''+y=\operatorname{sec}(x),\qquad y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
O enunciado faz três perguntas:
(a) A EDO é linear ou não linear?
(b) Determine o maior intervalo onde a solução certamente existe (e é única).
(c) Obtenha explicitamente a solução do PVI.
Informações relevantes dadas:
\text{Equação: }y''+y=\operatorname{sec}(x).çã
Os dados iniciais estão em x=0: y(0)=1 e y'(0)=0.
A função do lado direito é \operatorname{sec}(x)=\dfrac{1}{\cos(x)}, que está indefinida quando \cos(x)=0 (ou seja, em x=\pm\frac{\pi}{2},\pm\frac{3\pi}{2},\dots).

Passo 2

Resposta de (a) com explicação didática: por que a equação é linear.
Definição prática: uma EDO de segunda ordem é linear se pode ser escrita na forma
y''+p_1(x)y'+p_0(x)y=g(x),
onde p_1,p_0,g dependem só de x (não de y nem de suas derivadas multiplicadas entre si, potências de y, etc.). Aqui a equação é
y''+1\cdot y=\operatorname{sec}(x),
ou seja p_1(x)=0, p_0(x)=1 e g(x)=\operatorname{sec}(x). Como a equação entra exatamente nessa forma, ela é linear.
Observação intuitiva: em uma EDO linear as incógnitas y e y' aparecem apenas de forma linear (sem produtos y\cdot y', sem y^2, etc.). Neste caso só aparece y multiplicada por 1 e y'' isolada, portanto é linear.

Passo 3

Resposta de (b) com explicação didática: existência e unicidade.
Teorema usado (em palavras simples): para a EDO linear
y''+p_1(x)y'+p_0(x)y=g(x),
se p_1,p_0,g são contínuas num intervalo I contendo o ponto inicial, então para qualquer condição inicial em I existe uma única solução definida em todo I.
Aplicação ao caso: aqui p_1(x)=0 e p_0(x)=1 são contínuas em toda a reta, mas g(x)=\operatorname{sec}(x) só é contínua onde \cos(x)\neq0. Portanto devemos escolher o maior intervalo que contenha x=0 e em que \cos(x) não zere. Os zeros de \cos(x) mais próximos de 0 são x=\pm\frac{\pi}{2}. Logo o maior intervalo aberto contendo 0 onde \operatorname{sec}(x) é contínua é
\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right).
Portanto nesse intervalo existe e é única a solução do PVI.

Passo 4

Preparação para (c): método e plano.
Vamos obter a solução geral da EDO e depois aplicar as condições iniciais. Como é uma EDO linear de coeficientes não-constantes? Na verdade os coeficientes são constantes aqui ( y''+y), mas o termo não-homogêneo é \operatorname{sec}(x). O método mais direto é o da variação de parâmetros (ou também se poderia tentar operadores inversos, mas variação de parâmetros é simples aqui porque as soluções da homogênea são trigonométricas simples).
Plano:
  1. Resolver a homogênea y_h''+y_h=0 e obter duas soluções fundamentais y_1,y_2.
  2. Usar variação de parâmetros para construir uma solução particular y_p para a não-homogênea.
  3. Somar y=y_h+y_p e aplicar y(0)=1,y'(0)=0 para achar constantes.
Vou explicar cada passo com calma.

Passo 5

Solução da equação homogênea e Wronskiano.
A homogênea é
y_h''+y_h=0.
Característica: funções trigonométricas. Duas soluções lineares independentes são
y_1(x)=\cos(x),\qquad y_2(x)=\sin(x).
Verificação rápida: \cos''(x)=-\cos(x) então \cos''+\cos=0, e análogo para \sin.
O Wronskiano W de y_1,y_2 é
W(x)=\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} =\begin{vmatrix}\cos x & \sin x\\\\ -\sin x & \cos x\end{vmatrix} =\cos^2 x+\sin^2 x=1.
Observação: W\equiv1 facilita muito as fórmulas da variação de parâmetros.

Passo 6

Fórmulas da variação de parâmetros (explicação didática).
Para a equação na forma padrão
y''+p_1(x)y'+p_0(x)y=g(x),
com duas soluções fundamentais y_1,y_2\) e Wronskiano \(W\), uma solução particular pode ser escrita como \[y_p=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x),
onde as derivadas u_1',u_2' satisfazem o sistema
\begin{cases} u_1'(x)y_1(x)+u_2'(x)y_2(x)=0,\\[4pt] u_1'(x)y_1'(x)+u_2'(x)y_2'(x)=g(x). \end{cases}
Resolvendo esse sistema (é uma pequena álgebra linear) obtém-se as fórmulas compactas
u_1'(x)=-\dfrac{y_2(x)\,g(x)}{W(x)},\qquad u_2'(x)=\dfrac{y_1(x)\,g(x)}{W(x)}.
Depois integra-se u_1'\] e \(u_2' para obter u_1,u_2. Observação prática: constantes de integração em u_1,u_2 podem ser absorvidas na solução homogênea, então podemos escolher as primitivas sem constantes ou colocá-las e depois juntá-las aos C_1,C_2.]

Passo 7

Aplicando variação de parâmetros ao nosso problema.
Aqui g(x)=\operatorname{sec}(x), y_1=\cos x, y_2=\sin x e W=1. Portanto
u_1'(x)=-y_2(x)g(x)=-\sin x\cdot\operatorname{sec} x=-\frac{\sin x}{\cos x}=-\tan x,
u_2'(x)=y_1(x)g(x)=\cos x\cdot\operatorname{sec} x=\frac{\cos x}{\cos x}=1.
Agora integramos:
Para u_1:
u_1(x)=\int u_1'(x)\,dx=\int -\tan x \,dx.
Lembre que \displaystyle\int \tan x\,dx=-\ln|\cos x|. Logo
\int -\tan x\,dx=\ln|\cos x|.
Portanto escolhemos
u_1(x)=\ln|\cos x|.
(qualquer constante adicionada aqui seria absorvida em C_1 da solução homogênea.)
Para u_2:
u_2(x)=\int 1\,dx=x.
(mais uma vez omitimos a constante de integração por absorvê-la depois.)

Passo 8

Construção da solução particular e solução geral.
A solução particular é
y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x)=\ln|\cos x|\cdot\cos x + x\cdot\sin x.
Então a solução geral da EDO é
y(x)=C_1\cos x + C_2\sin x + \cos x\ln|\cos x| + x\sin x.

Passo 9

Explicação das derivadas necessárias para aplicar as condições iniciais (mostrar como derivar passo a passo).
Vamos calcular y'(x) explicitamente para depois aplicar y(0)=1,y'(0)=0.
Derivada termo a termo:
  • \dfrac{d}{dx}\big(C_1\cos x\big)=-C_1\sin x.
  • \dfrac{d}{dx}\big(C_2\sin x\big)=C_2\cos x.
  • Para f(x)=\cos x\ln|\cos x| usamos regra do produto: f'(x)=(\cos x)'\ln|\cos x|+\cos x\cdot\big(\ln|\cos x|\big)'.Temos (\cos x)'=-\sin x e \big(\ln|\cos x|\big)'=\dfrac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)=-\sin x/\cos x. Assim f'(x)=-\sin x\ln|\cos x|+\cos x\cdot\left(-\frac{\sin x}{\cos x}\right) =-\sin x\ln|\cos x|-\sin x=-\sin x\big(1+\ln|\cos x|\big).
  • Para g(x)=x\sin x usamos regra do produto: g'(x)=1\cdot\sin x + x\cos x=\sin x + x\cos x.
Somando os dois últimos resultados:
\frac{d}{dx}\big(\cos x\ln|\cos x|+x\sin x\big) =-\sin x\big(1+\ln|\cos x|\big)+\sin x+x\cos x.
Os termos -\sin x e +\sin x cancelam, restando
\frac{d}{dx}\big(\cos x\ln|\cos x|+x\sin x\big)=-\sin x\ln|\cos x| + x\cos x.
Assim, a derivada total é
y'(x)=-C_1\sin x + C_2\cos x -\sin x\ln|\cos x| + x\cos x.

Passo 10

Aplicando as condições iniciais para encontrar C_1 e C_2.
Primeiro y(0)=1. Avaliando y(0):
y(0)=C_1\cos 0 + C_2\sin 0 + \cos 0\ln|\cos 0| + 0\cdot\sin 0.
Como \cos 0=1, \sin 0=0 e \ln|\cos 0|=\ln 1=0, obtemos
y(0)=C_1\cdot 1 + C_2\cdot 0 + 1\cdot 0 + 0 = C_1.
Como y(0)=1, segue C_1=1.
Agora y'(0)=0. Avaliando y'(0):
y'(0)=-C_1\sin 0 + C_2\cos 0 -\sin 0\ln|\cos 0| + 0\cdot\cos 0.
De novo \sin 0=0, \cos 0=1, \ln|\cos 0|=0, logo
y'(0)=-C_1\cdot 0 + C_2\cdot 1 -0 + 0 = C_2.
Como y'(0)=0, segue C_2=0.

Passo 11

Escrevendo a solução final e fazendo um pequeno comentário.
Substituindo C_1=1 e C_2=0 na solução geral:
y(x)=\cos x + \cos x\ln|\cos x| + x\sin x.
Podemos reescrever como
y(x)=\cos x + x\sin x + \cos x\ln|\cos x|.
Comentário: a solução está definida e única no intervalo onde \ln|\cos x| e \operatorname{sec} x são bem definidos e contínuos, isto é no intervalo aberto \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) encontrado no Passo 3.

Resposta

(a) Linear.
(b) \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right).
(c) \displaystyle y(x)=\cos x + x\sin x + \cos x\ln\big|\cos x\big|.

Exercícios relacionados