Linear pois pode ser escrita na forma y^{\prime \prime}+p_{1}(x) y^{\prime}+p_{0}(x) y=g(x)
(b) Determine o maior intervalo no qual sua solução certamente existe (e é única).
R: \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)
(c) Obtenha a solução do PVI. R: y(x)=\cos (x)+x \sin (x)+\cos (x) \ln |\cos (x)|
Passo 1
Enunciado e o que se pede: temos o problema de valor inicial
O enunciado faz três perguntas:
(a) A EDO é linear ou não linear?
(b) Determine o maior intervalo onde a solução certamente existe (e é única).
(c) Obtenha explicitamente a solução do PVI.
Informações relevantes dadas:
\text{Equação: }y''+y=\operatorname{sec}(x).
Os dados iniciais estão em x=0: y(0)=1 e y'(0)=0.
A função do lado direito é \operatorname{sec}(x)=\dfrac{1}{\cos(x)}, que está indefinida quando \cos(x)=0 (ou seja, em x=\pm\frac{\pi}{2},\pm\frac{3\pi}{2},\dots).
Passo 2
Resposta de (a) com explicação didática: por que a equação é linear.
Definição prática: uma EDO de segunda ordem é linear se pode ser escrita na forma
y''+p_1(x)y'+p_0(x)y=g(x),
onde p_1,p_0,g dependem só de x (não de y nem de suas derivadas multiplicadas entre si, potências de y, etc.). Aqui a equação é
y''+1\cdot y=\operatorname{sec}(x),
ou seja p_1(x)=0, p_0(x)=1 e g(x)=\operatorname{sec}(x). Como a equação entra exatamente nessa forma, ela é linear.
Observação intuitiva: em uma EDO linear as incógnitas y e y' aparecem apenas de forma linear (sem produtos y\cdot y', sem y^2, etc.). Neste caso só aparece y multiplicada por 1 e y'' isolada, portanto é linear.
Passo 3
Resposta de (b) com explicação didática: existência e unicidade.
Teorema usado (em palavras simples): para a EDO linear
y''+p_1(x)y'+p_0(x)y=g(x),
se p_1,p_0,g são contínuas num intervalo I contendo o ponto inicial, então para qualquer condição inicial em I existe uma única solução definida em todo I.
Aplicação ao caso: aqui p_1(x)=0 e p_0(x)=1 são contínuas em toda a reta, mas g(x)=\operatorname{sec}(x) só é contínua onde \cos(x)\neq0. Portanto devemos escolher o maior intervalo que contenha x=0 e em que \cos(x) não zere. Os zeros de \cos(x) mais próximos de 0 são x=\pm\frac{\pi}{2}. Logo o maior intervalo aberto contendo 0 onde \operatorname{sec}(x) é contínua é
\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right).
Portanto nesse intervalo existe e é única a solução do PVI.
Passo 4
Preparação para (c): método e plano.
Vamos obter a solução geral da EDO e depois aplicar as condições iniciais. Como é uma EDO linear de coeficientes não-constantes? Na verdade os coeficientes são constantes aqui (y''+y), mas o termo não-homogêneo é \operatorname{sec}(x). O método mais direto é o da variação de parâmetros (ou também se poderia tentar operadores inversos, mas variação de parâmetros é simples aqui porque as soluções da homogênea são trigonométricas simples).
Plano:
Resolver a homogênea y_h''+y_h=0 e obter duas soluções fundamentais y_1,y_2.
Usar variação de parâmetros para construir uma solução particular y_p para a não-homogênea.
Somar y=y_h+y_p e aplicar y(0)=1,y'(0)=0 para achar constantes.
Vou explicar cada passo com calma.
Passo 5
Solução da equação homogênea e Wronskiano.
A homogênea é
y_h''+y_h=0.
Característica: funções trigonométricas. Duas soluções lineares independentes são
y_1(x)=\cos(x),\qquad y_2(x)=\sin(x).
Verificação rápida: \cos''(x)=-\cos(x) então \cos''+\cos=0, e análogo para \sin.
Depois integra-se u_1'\] e \(u_2' para obter u_1,u_2. Observação prática: constantes de integração em u_1,u_2 podem ser absorvidas na solução homogênea, então podemos escolher as primitivas sem constantes ou colocá-las e depois juntá-las aos C_1,C_2.]
Passo 7
Aplicando variação de parâmetros ao nosso problema.
Aqui g(x)=\operatorname{sec}(x), y_1=\cos x, y_2=\sin x e W=1. Portanto
Escrevendo a solução final e fazendo um pequeno comentário.
Substituindo C_1=1 e C_2=0 na solução geral:
y(x)=\cos x + \cos x\ln|\cos x| + x\sin x.
Podemos reescrever como
y(x)=\cos x + x\sin x + \cos x\ln|\cos x|.
Comentário: a solução está definida e única no intervalo onde \ln|\cos x| e \operatorname{sec} x são bem definidos e contínuos, isto é no intervalo aberto \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) encontrado no Passo 3.
Resposta
(a) Linear.
(b) \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right).
(c) \displaystyle y(x)=\cos x + x\sin x + \cos x\ln\big|\cos x\big|.