Linear pois pode ser escrita na forma y^{\prime \prime}+p_{1}(t) y^{\prime}+p_{0}(t) y=g(t)
(b) Determine o maior intervalo no qual sua solução certamente existe (e é única). R: \mathbb{R}
(c) Obtenha a sua solução. R: y(t)=\frac{3}{2} t-\frac{3}{4} e^{-2 t}-\frac{1}{2} \sin (2 t)-\frac{1}{2} \cos (2 t)+\frac{9}{4}
Passo 1
Enunciado e o que se pede. Temos o problema de valor inicial
y''+2y'=3+4\sin(2t),\qquad y(0)=1,\qquad y'(0)=2.
As perguntas são:
(a) A EDO é linear ou não linear?
(b) Determine o maior intervalo em que a solução existe e é única.
(c) Obtenha explicitamente a solução y(t).
Dados relevantes fornecidos: a equação diferencial de segunda ordem, coeficiente de y' igual a 2, coeficiente de y igual a 0, termo fonte 3+4\sin(2t), condições iniciais em t=0.
Passo 2
(a) Critério de linearidade e verificação. Uma EDO de segunda ordem é linear se pode ser escrita na forma
y''+p_{1}(t)y'+p_{0}(t)y=g(t),
onde p_{1},p_{0},g são funções dadas (não dependem de y nem de potências/funcionais não lineares de y). Aqui podemos reescrever a equação como
y''+2y'+0\cdot y=3+4\sin(2t).
Portanto p_{1}(t)=2, p_{0}(t)=0, g(t)=3+4\sin(2t). A equação é linear porque os coeficientes multiplicam y e suas derivadas de forma linear (sem termos como y^2, y\cdot y', \sin(y), etc.). Conclusão: a EDO é linear.
Passo 3
(b) Intervalo de existência e unicidade (teorema). Para uma equação linear de segunda ordem escrita como y''+p_{1}(t)y'+p_{0}(t)y=g(t), se p_{1},p_{0},g são contínuas em um intervalo que contém o ponto inicial t_0, então existe uma única solução definida nesse intervalo. Aqui p_{1}(t)=2, p_{0}(t)=0 e g(t)=3+4\sin(2t) são funções contínuas para todo t\in\mathbb{R}. Logo o maior intervalo onde a solução certamente existe e é única é \mathbb{R}.
Passo 4
(c) Estratégia para resolver a EDO. Como a equação é linear com coeficientes constantes, usamos a decomposição
y(t)=y_h(t)+y_p(t),
onde y_h é a solução geral da equação homogênea associada y''+2y'=0 e y_p é uma solução particular da equação completa. Vou achar y_h pelo polinômio característico e y_p pelo método dos coeficientes indeterminados (adaptando quando houver “ressonância”).
Passo 5
Encontrar y_h. O polinômio característico é
r^2+2r=0.
Fatorando,
r(r+2)=0,
portanto as raízes são r=0 e r=-2. Assim a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_1 + C_2 e^{-2t},
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.
Passo 6
Construir uma solução particular y_p. O termo fonte é 3+4\sin(2t). Pelo princípio da superposição, procuramos y_p como soma de uma parte para o termo constante 3 e de outra para 4\sin(2t):
y_p(t)=y_{p1}(t)+y_{p2}(t).
Para o termo constante 3: tentativa direta seria uma constante, mas note que r=0 é raiz do característico, então uma constante faz parte da homogênea (ressonância). Então multiplicamos por t e tentamos um polinômio de grau 1:
y_{p1}(t)=a t + b.
Calcule as derivadas:
y_{p1}'(t)=a,\qquad y_{p1}''(t)=0.
Aplicando o operador L[y]=y''+2y' obtemos
L[y_{p1}]=0+2a=2a.
Queremos L[y_{p1}]=3, portanto
2a=3\quad\Rightarrow\quad a=\frac{3}{2}.
O termo b pode ser escolhido zero porque uma constante pertence à homogênea e será ajustado pelos C_1. Assim podemos tomar