Dado o problema de valor inicial (PVI)
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}=3+4 \sin (2 t), \quad y(0)=1 \quad \text { e } \quad y^{\prime}(0)=2 .
(a) A EDO em (2) é linear ou não linear?
Linear pois pode ser escrita na forma y^{\prime \prime}+p_{1}(t) y^{\prime}+p_{0}(t) y=g(t)
(b) Determine o maior intervalo no qual sua solução certamente existe (e é única). R: \mathbb{R}
(c) Obtenha a sua solução. R: y(t)=\frac{3}{2} t-\frac{3}{4} e^{-2 t}-\frac{1}{2} \sin (2 t)-\frac{1}{2} \cos (2 t)+\frac{9}{4}

Passo 1

Enunciado e o que se pede. Temos o problema de valor inicial
y''+2y'=3+4\sin(2t),\qquad y(0)=1,\qquad y'(0)=2.
As perguntas são:
(a) A EDO é linear ou não linear?
(b) Determine o maior intervalo em que a solução existe e é única.
(c) Obtenha explicitamente a solução y(t).
Dados relevantes fornecidos: a equação diferencial de segunda ordem, coeficiente de y' igual a 2, coeficiente de y igual a 0, termo fonte 3+4\sin(2t), condições iniciais em t=0.

Passo 2

(a) Critério de linearidade e verificação. Uma EDO de segunda ordem é linear se pode ser escrita na forma
y''+p_{1}(t)y'+p_{0}(t)y=g(t),
onde p_{1},p_{0},g são funções dadas (não dependem de y nem de potências/funcionais não lineares de y). Aqui podemos reescrever a equação como
y''+2y'+0\cdot y=3+4\sin(2t).
Portanto p_{1}(t)=2, p_{0}(t)=0, g(t)=3+4\sin(2t). A equação é linear porque os coeficientes multiplicam y e suas derivadas de forma linear (sem termos como y^2, y\cdot y', \sin(y), etc.). Conclusão: a EDO é linear.

Passo 3

(b) Intervalo de existência e unicidade (teorema). Para uma equação linear de segunda ordem escrita como y''+p_{1}(t)y'+p_{0}(t)y=g(t), se p_{1},p_{0},g são contínuas em um intervalo que contém o ponto inicial t_0, então existe uma única solução definida nesse intervalo. Aqui p_{1}(t)=2, p_{0}(t)=0 e g(t)=3+4\sin(2t) são funções contínuas para todo t\in\mathbb{R}. Logo o maior intervalo onde a solução certamente existe e é única é \mathbb{R}.

Passo 4

(c) Estratégia para resolver a EDO. Como a equação é linear com coeficientes constantes, usamos a decomposição
y(t)=y_h(t)+y_p(t),
onde y_h é a solução geral da equação homogênea associada y''+2y'=0 e y_p é uma solução particular da equação completa. Vou achar y_h pelo polinômio característico e y_p pelo método dos coeficientes indeterminados (adaptando quando houver “ressonância”).

Passo 5

Encontrar y_h. O polinômio característico é
r^2+2r=0.
Fatorando,
r(r+2)=0,
portanto as raízes são r=0 e r=-2. Assim a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_1 + C_2 e^{-2t},
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 6

Construir uma solução particular y_p. O termo fonte é 3+4\sin(2t). Pelo princípio da superposição, procuramos y_p como soma de uma parte para o termo constante 3 e de outra para 4\sin(2t):
y_p(t)=y_{p1}(t)+y_{p2}(t).
Para o termo constante 3: tentativa direta seria uma constante, mas note que r=0 é raiz do característico, então uma constante faz parte da homogênea (ressonância). Então multiplicamos por t e tentamos um polinômio de grau 1:
y_{p1}(t)=a t + b.
Calcule as derivadas:
y_{p1}'(t)=a,\qquad y_{p1}''(t)=0.
Aplicando o operador L[y]=y''+2y' obtemos
L[y_{p1}]=0+2a=2a.
Queremos L[y_{p1}]=3, portanto
2a=3\quad\Rightarrow\quad a=\frac{3}{2}.
O termo b pode ser escolhido zero porque uma constante pertence à homogênea e será ajustado pelos C_1. Assim podemos tomar
y_{p1}(t)=\frac{3}{2}t.

Passo 7

Para o termo 4\sin(2t): tentamos
y_{p2}(t)=C\cos(2t)+D\sin(2t).
Calcule derivadas:
y_{p2}'(t)=-2C\sin(2t)+2D\cos(2t),
y_{p2}''(t)=-4C\cos(2t)-4D\sin(2t).
Agora aplique L:
L[y_{p2}]=y_{p2}''+2y_{p2}'
\;=\big(-4C\cos(2t)-4D\sin(2t)\big)+2\big(-2C\sin(2t)+2D\cos(2t)\big).
Agrupando termos em \cos(2t) e \sin(2t):
L[y_{p2}]=(-4C+4D)\cos(2t)+(-4D-4C)\sin(2t).
Queremos que isso seja igual a 4\sin(2t), ou seja coeficiente de \cos(2t) é 0 e coeficiente de \sin(2t) é 4. Assim:
-4C+4D=0,
-4D-4C=4.
Da primeira equação vem D=C. Substituindo na segunda:
-4C-4C=4\quad\Rightarrow\quad -8C=4\quad\Rightarrow\quad C=-\tfrac{1}{2}.
Então D=-\tfrac{1}{2}. Assim
y_{p2}(t)=-\tfrac{1}{2}\cos(2t)-\tfrac{1}{2}\sin(2t).

Passo 8

Somando as partes particulares:
y_p(t)=\frac{3}{2}t-\frac{1}{2}\cos(2t)-\frac{1}{2}\sin(2t).
A solução geral da equação completa é
y(t)=C_1 + C_2 e^{-2t} + \frac{3}{2}t-\frac{1}{2}\cos(2t)-\frac{1}{2}\sin(2t).

Passo 9

Aplicar as condições iniciais para achar C_1,C_2. Primeiro avalie y(0)=1. Note que \cos(0)=1, \sin(0)=0:
y(0)=C_1+C_2+0-\tfrac{1}{2}-0=C_1+C_2-\tfrac{1}{2}=1.
Logo
C_1+C_2=\tfrac{3}{2}. \tag{1}
Agora calcule y'(t). Derivando a expressão de y(t):
y'(t)=-2C_2 e^{-2t}+\tfrac{3}{2}+\sin(2t)-\cos(2t).
(Determinamos isso usando d/dt\big(C_2 e^{-2t}\big)=-2C_2 e^{-2t}, d/dt(\tfrac{3}{2}t)=\tfrac{3}{2}, d/dt\big(-\tfrac{1}{2}\cos(2t)\big)=+\sin(2t), d/dt\big(-\tfrac{1}{2}\sin(2t)\big)=-\cos(2t).)
Avalie em t=0 ( \sin0=0,\cos0=1):
y'(0)=-2C_2+\tfrac{3}{2}+0-1=-2C_2+\tfrac{1}{2}.
Como y'(0)=2, segue
-2C_2+\tfrac{1}{2}=2\quad\Rightarrow\quad -2C_2=\tfrac{3}{2}\quad\Rightarrow\quad C_2=-\tfrac{3}{4}.
Substituindo em (1):
C_1=\tfrac{3}{2}-C_2=\tfrac{3}{2}-\big(-\tfrac{3}{4}\big)=\tfrac{3}{2}+\tfrac{3}{4}=\tfrac{9}{4}.

Passo 10

Escrevendo a solução final com os valores de C_1,C_2:
y(t)=\frac{9}{4}-\frac{3}{4}e^{-2t}+\frac{3}{2}t-\frac{1}{2}\cos(2t)-\frac{1}{2}\sin(2t).

Resposta

(a) Linear
(b) \mathbb{R}
(c) \displaystyle y(t)=\frac{3}{2}t-\frac{3}{4}e^{-2t}-\frac{1}{2}\sin(2t)-\frac{1}{2}\cos(2t)+\frac{9}{4}

Exercícios relacionados