Dado o problema de valor inicial (PVI)
(a) Determine o maior intervalo no qual sua solução certamente existe (e é única). R:
(b) Obtenha a sua solução. R:
(b) Obtenha a sua solução. R:
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
Perguntas a responder:
(a) Determinar o maior intervalo em que a solução certamente existe e é única.
(b) Obter explicitamente a solução .
(a) Determinar o maior intervalo em que a solução certamente existe e é única.
(b) Obter explicitamente a solução
Informações relevantes: coeficientes da equação linear são constantes (
e
) e o termo independente é a função
.
Passo 2
Por que a solução existe e é única em todo lugar? Vou explicar o teorema usado (de forma direta e prática): para uma equação linear de segunda ordem na forma
se
são funções contínuas num intervalo
, então para qualquer condição inicial em um ponto
existe uma única solução definida em todo esse intervalo
. No nosso PVI temos
,
e
. Essas três são funções contínuas (na verdade são funções elementares definidas para todo
). Logo o maior intervalo onde a solução certamente existe e é única é
.
Passo 3
Agora vamos resolver a equação. Primeiro resolvo a homogênea associada:
A técnica usual é assumir
e obter a equação característica
Essa fatoriza como
, então há raiz dupla
. Para raiz dupla a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Para a particular vou usar o método dos coeficientes a determinar. Observação útil (que facilita muito a conta): o operador diferencial
pode ser escrito como
, onde
significa derivação. Se tentarmos uma solução do tipo
com
polinômio, temos a identidade (vou derivar passo a passo):
- Seja
. Então
- Aplicando
:
Portanto, para qualquer polinômio
vale
. Isso é ótimo porque reduz o problema para uma equação puramente polinomial.
Passo 5
Como o lado direito do PVI é
, usando o resultado do passo anterior basta escolher
tal que
Agora integro duas vezes para achar
. Integração 1:
onde
é constante de integração. Integração 2:
com outra constante
.
Passo 6
Portanto uma solução geral (particular + homogênea combinadas) pode ser escrita como
Observação didática: os termos
multiplicados por
correspondem exatamente à solução homogênea
; isso é esperado: ao integrar duas vezes apareceram constantes que representam a liberdade da homogênea.
Passo 7
Agora uso as condições iniciais para determinar
e
. Primeiro avalio
:
Como
, segue
.
Para
é mais simples usar a expressão
(vista no passo 4). Temos
Logo
Como
segue
.
Passo 8
Substituindo
e
obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
Verificação rápida (mente tranquila): aplicando
a
dá
, regra do passo 4, ou seja, a equação é satisfeita.
Resposta
(a)
(b)
(b)