arcsen x=x+sumn=1^infty 1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2 n-1)n!(2 n+1) 2^n x^2 n+1,|x|<1

Passo 1

O enunciado pede para obter a série de Taylor (Maclaurin) de arcsin x em torno de 0, ou seja, encontrar
arcsin x = sumn=0^infty an x^n, |x|<1
Para isso, vamos usar que
  1. ddxl(arcsin xr)=1raiz1-x^2.
  2. A expansão binomial para (1 - x^2)^-1/2.
  3. Integração termo a termo da série resultante para recuperar arcsin x.

Passo 2

Calculemos a derivada
f'(x)=ddxl(arcsin xr) =1raiz1-x^2 =(1 - x^2)^-tfrac12
Pela fórmula da série binomial temos, para |x|<1,
(1 - x^2)^-tfrac12 =sumn=0^inftybinom-tfrac12n(-x^2)^n

Passo 3

Recordando que
binom-tfrac12n =(-tfrac12)(-tfrac12-1)cdots(-tfrac12-n+1)n! =(-1)^n(2n)!4^n,(n!)^2,
segue
(1 - x^2)^-tfrac12 =sumn=0^infty(2n)!(n!)^2,4^n;x^2n

Passo 4

Integramos termo a termo de 0 a x para obter arcsin x:
arcsin x =integral0^x(1 - t^2)^-tfrac12,dt =sumn=0^infty(2n)!(n!)^2,4^n,x^2n+12n+1
Agora use a identidade (2n)! = 2^n,n!,(1cdot3cdot5cdots(2n-1)) para escrever
(2n)!(n!)^2,4^n(2n+1) =1cdot3cdot5cdots(2n-1)n!,(2n+1),2^n

Resposta

arcsin x =x+sumn=1^infty 1cdot3cdot5cdots(2n-1)n!,(2n+1),2^n;x^2n+1, |x|<1

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