(a) integral0^1 / 3 d x1+x^6

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 0 a 1/3 de 1/(1+x^6). Isso é conteúdo de cálculo de integrais de funções racionais que não têm antiderivada elementar direta, então vamos usar fatoração do denominador e decomposição em frações parciais.

Passo 2

Precisamos fatorar o polinômio x^6+1 em fatores quadráticos sobre R. Usa-se a identidade de soma de cubos duas vezes:
x^6+1 = (x^2+1)(x^4 - x^2 +1) = (x^2+1)(x^2+raiz3,x+1)(x^2-raiz3,x+1)

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais com fatores quadráticos:
1x^6+1 = Ax+Bx^2+1 + Cx+Dx^2+raiz3,x+1 + Ex+Fx^2-raiz3,x+1
Pela simetria da função (é par), obtemos A=0, E=-C e F=D.

Passo 4

Multiplicando tudo por x^6+1 e igualando coeficientes, chegamos a um sistema que dá
B=0, D=tfrac12, C=tfrac12raiz3
Logo
11+x^6 = tfrac12raiz3,x+tfrac12x^2+raiz3,x+1 + -tfrac12raiz3,x+tfrac12x^2-raiz3,x+1

Passo 5

Agora integramos cada parcela. Para x^2+raiz3,x+1=(x+tfracraiz32)^2+(tfrac12)^2 e numerador Cx+D, escrevemos
$$Cx+D = \frac C2(2x+\sqrt3) + \Bigl(D-\frac{C\sqrt3}2\Bigr)
Cx+D = C2(2x+raiz3) + l(D-Craiz32r) áF(x)=\frac1{4\sqrt3}\ln\frac{x^2+\sqrt3 x+1}{x^2-\sqrt3 x+1}+\frac12\bigl[\arctan(2x+\sqrt3)+\arctan(2x-\sqrt3)\bigr]+C.$$

Passo 6

Usamos a fórmula de soma de arctan
arctan u+arctan v=arctanu+v1-uv,
com u=2x+raiz3 e v=2x-raiz3. No intervalo [0,1/3] isso simplifica a
F(x)=14raiz3lnx^2+raiz3 x+1x^2-raiz3 x+1+12arctanx1-x^2+C

Passo 7

Finalmente avaliamos de 0 a 1/3. Em x=0 a antiderivada vale 0. Em x=1/3 temos
$$x^2+\sqrt3 x+1=\frac{10+3\sqrt3}9,\quad x^2-\sqrt3 x+1=\frac{10-3\sqrt3}9,\quad\frac{x}{1-x^2}=\frac{3}{8}.
x^2+raiz3 x+1=10+3raiz39, x^2-raiz3 x+1=10-3raiz39,x1-x^2=38 \frac1{4\sqrt3}\ln\frac{10+3\sqrt3}{10-3\sqrt3}+\frac12\arctan\frac{3}{8}.$$

Resposta

integral0^1/3dx1+x^6=14raiz3ln10+3raiz310-3raiz3+12arctan38

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