(a)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida de 0 a 1/3 de
. Isso é conteúdo de cálculo de integrais de funções racionais que não têm antiderivada elementar direta, então vamos usar fatoração do denominador e decomposição em frações parciais.
Passo 2
Precisamos fatorar o polinômio
em fatores quadráticos sobre
. Usa-se a identidade de soma de cubos duas vezes:
Passo 3
Fazemos a decomposição em frações parciais com fatores quadráticos:
Pela simetria da função (é par), obtemos
Passo 4
Multiplicando tudo por
e igualando coeficientes, chegamos a um sistema que dá
Logo
Passo 5
Agora integramos cada parcela. Para
e numerador
, escrevemos
$$Cx+D = \frac C2(2x+\sqrt3) + \Bigl(D-\frac{C\sqrt3}2\Bigr)
Passo 6
Usamos a fórmula de soma de arctan
com
Passo 7
Finalmente avaliamos de
a
. Em
a antiderivada vale 0. Em
temos
$$x^2+\sqrt3 x+1=\frac{10+3\sqrt3}9,\quad x^2-\sqrt3 x+1=\frac{10-3\sqrt3}9,\quad\frac{x}{1-x^2}=\frac{3}{8}.