(1) Considere um processo onde a partícula a decai em duas partículas distintas, chamadas a1 e a2. Simbolicamente, escrevemos o processo como:
a(p) a1(p1)+a2(p2),
onde em parênteses, temos a notação para os 4-momento das partículas. A massa da partícula que decaiu é m, e as massas dos produtos são m1 e m2. Calcular:
(a) O módulo do 3-momento de a1 no referencial em repouso de a.
(b) Usando a relação energia-momento e o resultado do item anterior, obter as energias de a1 e a2 em termos de m, m1 e m2 no referencial de repouso de a.
© No referencial onde a tem um 3-momento não nulo obter o módulo do 3 -momento de a1 (seja theta o ângulo entre p e p1 ).

Passo 1

A gente tem um decaimento a dois corpos
a(p)toa1(p1)+a2(p2)
com massas m (para a), m₁ e m₂ (para a₁ e a₂). No referencial de repouso de a, o impulso total final é zero. Vamos usar conservação de energia e momento juntos com a relação relativística E^2=vec p^,2+m^2.

Passo 2

No referencial de repouso de a temos
conservação de energia:
E1^*+E2^*=m,
e momento:
vec p1^*+vec p2^*=0implies |vec p1^*|=|vec p2^*|=p^*
Além disso Ei^*2=p^*2+mi^2. Daí:
(m-E1^*)^2=p^*2+m2^2
e
E1^*2=p^*2+m1^2
Subtraindo as duas equações e resolvendo para p^*
(p^*)^2= rac(m^2-(m1+m2)^2)(m^2-(m1-m2)^2)4m^2
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p^*= rac raizm^4+m1^4+m2^4-2m^2m1^2-2m^2m2^2-2m1^2m2^2 2m
que é o módulo do 3-momento de a₁ no repouso de a.

Passo 3

Para as energias no repouso de a basta usar
E1^*= raizp^*2+m1^2 =m^2+m1^2-m2^22m,
E2^*= raizp^*2+m2^2 =m^2+m2^2-m1^22m
Isso já resulta nas energias desejadas em função de m, m₁ e m₂.

Passo 4

Agora vamos ao referencial em que a tem momento vec pneq0.
Definimos
E=raizp^2+m^2, beta=pE, gamma=1raiz1-beta^2
Se no repouso o impulso de a₁ faz ângulo theta^* com o eixo de boost (direção de vec p), então em qualquer quadro
p1paral<=l=gammal(p^*costheta^*+beta E1^*r),
p1perp=p^*sintheta^*
O módulo do impulso de a₁ fica
|vec p1| =raizp1paral<=l^2+p1perp^2 =raizp^*2sin^2theta^*+gamma^2(p^*costheta^*+beta E1^*)^2
Se você chamar de theta o ângulo entre vec p e vec p1 no quadro movido, então
costheta=p1paral<=lraizp1paral<=l^2+p1perp^2,
e acima está a expressão completa para |vec p1| em função de theta, de p^*, E1^*, beta e gamma.

Resposta

(a) p^*=raiz(m^2-(m1+m2)^2)(m^2-(m1-m2)^2)2m
(b) E1^*=m^2+m1^2-m2^22m, E2^*=m^2+m2^2-m1^22m
© Tomando E=raizp^2+m^2,beta=p/E,gamma=1/raiz1-beta^2 e
p1paral<=l=gamma(p^*costheta^*+beta E1^*), p1perp=p^*sintheta^*,
|vec p1|=raizp^*2sin^2theta^*+gamma^2(p^*costheta^*+beta E1^*)^2,
sendo theta o ângulo no quadro movido satisfazendo
costheta=p1paral<=l/|vec p1|.

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